二項分布是概率統計中非常基礎、非常實用的一種分布，可以說它在我們的生活中無所不在。它說明了這樣一種現象：在給定的試驗次數中，某一結果會發生多少次。

比如：

這個月有多少天會刮北風？

今年有多少天會下雨？

經過一個路口100次，有多少次會是綠燈？

一年之中會有多少次出門就見狗？

伯努利分布

伯努利分布是二項分布的基礎，它只有兩種狀態，比如拋硬幣的時候，結果只有正面和反面兩種情況，且兩種情況的概率之和為1。也就是說，當我們給定正面朝上的概率的時候，這個分布的一切就都確定了。

我們以0和1來標識這兩種可能的結果，那么其概率函數為：

那么其期望值為：

其方差為：

排列組合

1. 排列

從n個對象中有序地挑選出r個對象，我們稱之為排列，我們用以下公式統計其可能產生的排列數：

2. 組合

考慮另一種情況，仍然是從n個對象中抽取r個對象，但是這次我們不考慮其順序，這種過程我們稱之為組合。我們用以下公式統計其可能產生的組合數：

可以看出，這是n選r的排列數除以r的排列數。上述公式又被稱作二項系數，通常用“n選r”表示。

3. Python計算

那么接下來我們用Python來寫一個函數，用來計算不同參數下的排列與組合的數量。在排列組合的計算中，我們可能會輸入兩個參數：總樣本量n、需要抽取的樣本數k。

那么我們就定義如下函數：

from functools import reducedef PC(n, k): """ 計算并返回排列組合數 """ # 非法輸入返回空 if n <= 0 or k < 0 or n < k: print('Wrong Input!') return None # ｋ為０時，排列組合的情況恒為１ if k == 0: return 1, 1 # 生成正序及倒序的序列 series_asc = list(range(1, n+1)) series_desc = sorted(series_asc, reverse=True) # 排列 permutation = reduce(lambda x, y: x*y, series_desc[:k]) # 組合 perm2 = reduce(lambda x, y: x*y, series_asc[:k]) combination = int(permutation / perm2) return permutation, combination

隨手測試幾個：

for n in range(1, 5): for k in range(1, 3): print('-'*10) print(n, k) print(PC(n, k))

結果是正確的：

----------1 1(1, 1)----------1 2Wrong Input!None----------2 1(2, 2)----------2 2(2, 1)----------3 1(3, 3)----------3 2(6, 3)----------4 1(4, 4)----------4 2(12, 6)

二項分布

回顧伯努利分布的情況：一次實驗只有可能有兩種結果，分別用0和1來表示，其中結果１發生的概率為p。那么在n次獨立實驗中，不考慮順序的情況下，結果1出現k次的概率是多少？

首先，因為n次實驗相互獨立，所以根據乘法定律，任何一種結果１出現k次的場景發生的概率均為：

然后，我們需要考慮結果為１的次數剛好為k的情況有多少種。很明顯，這就是一個伯努利試驗的組合問題，n次實驗中有k次結果為１的情況共有“n選k”種，兩者相乘就是該事件發生的概率。

因此：

Python計算

那么我們來用Python實現一個計算二項分布概率的小工具，在這里，我們的輸入參數包含總試驗次數n、正樣本發生的次數k以及正樣本發生的概率p：

def binominal_prob(n, k, p): """ 計算并返回二項分布中某結果發生的概率 """ # 任一ｋ次成功的序列出現的概率 p_base = p ** k * (1-p) ** (n-k) # ｎ次試驗中ｋ次成功的組合數 # 直接用上邊我們編寫的排列組合函數來求解 combination = PC(n, k)[1] p_result = p_base * combination return p_result

那么接下來，我們利用我們剛剛寫好的小工具，來看一下在10次試驗中，不同的概率對應的二項分布是什么樣的。

probs = [binominal_prob(10, i, 0.5) for i in range(11)]

我們將結果畫出來看看：

%matplotlib inlineimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snssns.set()probs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]n = 20plt.figure(figsize=(16, 6))for p in probs: dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)] plt.plot(range(n+1), dist_probs, label='p={0}'.format(p))plt.legend()plt.title('Binominal Distributions of Different P value')plt.savefig('binominal.jpg')plt.show()

或者我們使用交互式的繪圖庫plotly來嘗試同樣的事情：

import plotly.graph_objects as goprobs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]n = 20fig = go.Figure()for p in probs: dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)] fig.add_trace(go.Scatter( x=list(range(n+1)), y=dist_probs, name='p={0}'.format(p) ))fig.show()

可以看到，plotly實現的效果更加靚麗，且額外支持了動態交互，在這里我就選擇把p=0.8這條線隱藏了起來。

一個利用極大似然估計求二項分布概率參數的例子

我們現在想象一種情況，有一枚分布不太均勻的硬幣，每次拋向空中后，落地為正面的概率為p，任意兩次實驗之間相互獨立。現在我們做了４次實驗，其中有三次正面朝上，那么請問p的值為多少？

我們之前曾經提到過極大似然估計，在這里我們用同樣的思路去估計p的取值。極大似然估計的思想就是尋找一個參數，使得當前結果發生的概率最大，那么我們先定義出來當前結果發生的概率公式：

對其求導并使導數為０，有：

可得，當p=0.75時，P(X=3)=0.422達到最大(另一個解p=0顯然不可能，因為硬幣朝上已經發生了，并不是“不可能事件”；另外考慮不同區間導數的取值也可以得到答案)。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的python 二项分布_二项分布的理论基础、应用及Python实践的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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