矩陣?yán)斫庖?#xff1a;https://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

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矩陣?yán)斫舛?#xff1a;https://blog.csdn.net/myan/article/details/649018

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矩陣?yán)斫馊?#xff1a;https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

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關(guān)鍵結(jié)論：

1. 首先有空間，空間可以容納對(duì)象運(yùn)動(dòng)的。一種空間對(duì)應(yīng)一類對(duì)象。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對(duì)象運(yùn)動(dòng)的。
3. 運(yùn)動(dòng)是瞬時(shí)的，因此也被稱為變換。
4. 矩陣是線性空間中運(yùn)動(dòng)（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實(shí)施運(yùn)動(dòng)（變換）的過程。
6. 同一個(gè)變換，在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以本征值相同。

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第三篇：

現(xiàn)在到了關(guān)鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那么組成這個(gè)矩陣的那一組向量也就是線性無關(guān)的了，

也就可以成為度量線性空間的一個(gè)坐標(biāo)系。結(jié)論：矩陣描述了一個(gè)坐標(biāo)系。

??????? “慢著！”，你嚷嚷起來了，“你這個(gè)騙子！你不是說過，矩陣就是運(yùn)動(dòng)嗎？怎么這會(huì)矩陣又是坐標(biāo)系了？”

??????? 嗯，所以我說到了關(guān)鍵的一步。我并沒有騙人，之所以矩陣又是運(yùn)動(dòng)，又是坐標(biāo)系，那是因?yàn)椤?/p>

??????? “運(yùn)動(dòng)等價(jià)于坐標(biāo)系變換”。

??????? 對(duì)不起，這話其實(shí)不準(zhǔn)確，我只是想讓你印象深刻。準(zhǔn)確的說法是：

?????? “對(duì)象的變換等價(jià)于坐標(biāo)系的變換”。

?????? 或者：

?????? “固定坐標(biāo)系下一個(gè)對(duì)象的變換等價(jià)于固定對(duì)象所處的坐標(biāo)系變換。”

?????? 說白了就是：

??????? “運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的。”?????? ?

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??????? 讓我們想想，達(dá)成同一個(gè)變換的結(jié)果，比如把點(diǎn)(1, 1)變到點(diǎn)(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，坐標(biāo)系不動(dòng)，點(diǎn)動(dòng)，把(1, 1)點(diǎn)挪到(2, 3)去。第二，點(diǎn)不動(dòng)，變坐標(biāo)系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點(diǎn)還是那個(gè)點(diǎn)，可是點(diǎn)的坐標(biāo)就變成(2, 3)了。方式不同，結(jié)果一樣。

??????? 從第一個(gè)方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運(yùn)動(dòng)描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)的過程。在這個(gè)方式下，

?????? Ma = b

?????? 的意思是：

?????? “向量a經(jīng)過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”

??????? 而從第二個(gè)方式來看，矩陣M描述了一個(gè)坐標(biāo)系，姑且也稱之為M。那么：

??????? Ma = b

?????? 的意思是：

??????? “有一個(gè)向量，它在坐標(biāo)系M的度量下得到的度量結(jié)果向量為a，那么它在坐標(biāo)系I的度量下，這個(gè)向量的度量結(jié)果是b。”

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? 這里的I是指單位矩陣，就是主對(duì)角線是1，其他為零的矩陣。

??????? 而這兩個(gè)方式本質(zhì)上是等價(jià)的。

??????? 我希望你務(wù)必理解這一點(diǎn)，因?yàn)檫@是本篇的關(guān)鍵。

??????? 正因?yàn)槭顷P(guān)鍵，所以我得再解釋一下。

??????? 在M為坐標(biāo)系的意義下，如果把M放在一個(gè)向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認(rèn)為這是對(duì)向量a的一個(gè)環(huán)境聲明。它相當(dāng)于是說：

??????? “注意了！這里有一個(gè)向量，它在坐標(biāo)系M中度量，得到的度量結(jié)果可以表達(dá)為a。可是它在別的坐標(biāo)系里度量的話，就會(huì)得到不同的結(jié)果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在坐標(biāo)系M中度量的結(jié)果。”

?????? 那么我們?cè)倏垂铝懔愕南蛄縝：

?????? b

?????? 多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實(shí)不是b，它是：

?????? Ib

?????? 也就是說：“在單位坐標(biāo)系，也就是我們通常說的直角坐標(biāo)系I中，有一個(gè)向量，度量的結(jié)果是b。”

?????? 而? Ma = Ib的意思就是說：

?????? “在M坐標(biāo)系里量出來的向量a，跟在I坐標(biāo)系里量出來的向量b，其實(shí)根本就是一個(gè)向量啊！”

?????? 這哪里是什么乘法計(jì)算，根本就是身份識(shí)別嘛。

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?????? 下面我們得出一個(gè)重要的結(jié)論：

??????? “對(duì)坐標(biāo)系施加變換的方法，就是讓表示那個(gè)坐標(biāo)系的矩陣與表示那個(gè)變化的矩陣相乘。”

??????? 再一次的，矩陣的乘法變成了運(yùn)動(dòng)的施加。只不過，被施加運(yùn)動(dòng)的不再是向量，而是另一個(gè)坐標(biāo)系。

??????? 如果你覺得你還搞得清楚，請(qǐng)?jiān)傧胍幌聞偛乓呀?jīng)提到的結(jié)論，矩陣MxN，一方面表明坐標(biāo)系N在運(yùn)動(dòng)M下的變換結(jié)果，另一方面，把M當(dāng)成N的前綴，當(dāng)成N的環(huán)境描述，那么就是說，在M坐標(biāo)系度量下，有另一個(gè)坐標(biāo)系N。這個(gè)坐標(biāo)系N如果放在I坐標(biāo)系中度量，其結(jié)果為坐標(biāo)系MxN。

??????? 在這里，我實(shí)際上已經(jīng)回答了一般人在學(xué)習(xí)線性代數(shù)是最困惑的一個(gè)問題，那就是為什么矩陣的乘法要規(guī)定成這樣。簡(jiǎn)單地說，是因?yàn)?#xff1a;

??????? 1. 從變換的觀點(diǎn)看，對(duì)坐標(biāo)系N施加M變換，就是把組成坐標(biāo)系N的每一個(gè)向量施加M變換。

??????? 2. 從坐標(biāo)系的觀點(diǎn)看，在M坐標(biāo)系中表現(xiàn)為N的另一個(gè)坐標(biāo)系，這也歸結(jié)為，對(duì)N坐標(biāo)系基的每一個(gè)向量，把它在I坐標(biāo)系中的坐標(biāo)找出來，然后匯成一個(gè)新的矩陣。

??????? 3. 至于矩陣乘以向量為什么要那樣規(guī)定，那是因?yàn)橐粋€(gè)在M中度量為a的向量，如果想要恢復(fù)在I中的真像，就必須分別與M中的每一個(gè)向量進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算。

原文：https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

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總結(jié)

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