轉載自：最長上升子序列(LIS)長度的O(nlogn)算法

最長上升子序列nlogn算法

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在川大oj上遇到一道題無法用n^2過于是，各種糾結，最后習得nlogn的算法

最長遞增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我們簡記為 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，這兩個太容易理解了。

假設存在一個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度為5。n
下面一步一步試著找出它。
我們定義一個序列B，然后令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變量Len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小于3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3后面，因為B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，于是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等于3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最后一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我們知道了LIS的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入數據。雖然最后一個d[9] = 7更新進去對于這組數據沒有什么意義，但是如果后面再出現兩個數字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然后應該發現一件事情了：在B中插入數據是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查找，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~于是算法的時間復雜度就降低到了O(NlogN)～！

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#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #define MAXN 40005 using namespace std; int arr[MAXN],ans[MAXN],len; int binary_search(int i){int left,right,mid;left=1,right=len+1;while(left<=right){mid = (right+left)>>1;if(ans[mid]>=arr[i]) right=mid-1;else left=mid+1;}return left; }int main() { int T,p,i,j,k;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&p);for(i=1; i<=p; ++i)scanf("%d",&arr[i]);ans[1] = arr[1];len=1;for(i=2; i<=p; ++i){if(arr[i]>ans[len])ans[++len]=arr[i];else{int pos=binary_search(i);//可以使用lower_bound(ans+1,ans+len+1,arr[i])-ansans[pos] = arr[i];}}printf("%d\n",len);} return 0; }

　　

轉載于:https://www.cnblogs.com/Slager-Z/p/7787564.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[模板]LIS（最长上升子序列）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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