牛頓第三運動定律表述是：相互作用的兩個物體之間的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。

它由牛頓在1687年提出，和第一、第二定律共同闡述了經典力學中基本的運動規(guī)律。

400年來，事物確實在按照這樣的定律運動，比如我們不會從地板上掉下去，是因為地板也在推著我們，為什么劃槳可以推動船前進，是因為水也在推動船槳。

當系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，沒有能量進出，這種基本規(guī)則。從數(shù)學上講，這種系統(tǒng)可以用統(tǒng)計力學來完美描述，從而使得人類能夠完全模擬物質相變的條件，例如水結冰。

但世界上還有許多并未達到平衡的系統(tǒng)，比如生命本身。

在這樣的系統(tǒng)中，牛頓第三定律失效了。芝加哥大學凝聚態(tài)理論家Vincenzo Vitelli將其命名為“非互惠系統(tǒng)”。

Vitelli說。

對于這些不守規(guī)矩的系統(tǒng)，非互惠性占主導，統(tǒng)計力學無法表示相變。我們如何描述這樣不斷變化的系統(tǒng)呢?

Vitelli和同事在數(shù)學對象中找到了答案，稱為“奇點”，即兩個或多個特征屬性變得無法區(qū)分并在數(shù)學上合二為一的點。

在奇點上，系統(tǒng)的數(shù)學行為與其在附近點的行為截然不同，因此奇點通常用來描述系統(tǒng)中的奇怪現(xiàn)象。比如激光，在這個系統(tǒng)中能量不斷獲得和損失。

現(xiàn)在，Vitelli團隊發(fā)現(xiàn)，這些奇點也控制著非互惠系統(tǒng)中的相變。

對奇點的研究并不是新事，幾十年來，物理學家和數(shù)學家在各種環(huán)境中對它們進行研究，但從未將奇點與相變聯(lián)系在一起。Vitelli的發(fā)現(xiàn)或許將推動數(shù)學、物理向前發(fā)展。

Vincenzo Vitelli

這項研究從量子怪異開始。幾年前，芝加哥大學博士后研究員Ryo Hanai和他的導師Peter Littlewood，正在研究一種叫做極化子的準粒子。

準粒子本身不是粒子，它是一組量子行為。總體上看，它們的行為類似于一個粒子。當光子(負責光的粒子)與激子(激子本身就是準粒子)耦合時，極化子就出現(xiàn)了。

極化子的質量極低，意味著它們可以移動得非常快，并且可以在比其他粒子更高的溫度下形成一種稱為玻色-愛因斯坦凝聚體 (Bose-Einstein condensate ，BEC) 的物質狀態(tài)。在BEC狀態(tài)下，分離的原子全部坍縮成一個單一的量子態(tài)。

相變，例如水凍結，在平衡系統(tǒng)中很容易理解。但芝加哥大學的 Peter Littlewood（左）和 Ryo Hanai 發(fā)現(xiàn)，在能量不斷泵入的量子系統(tǒng)中，相變可以理解為奇點，稱為異常點。

然而，使用極化子來創(chuàng)建BEC極其復雜，因為這個系統(tǒng)是“漏”的：一些光子不斷地逃離系統(tǒng)，就意味著光必須不斷地被泵入系統(tǒng)，以彌補差額。Hanai說：“從理論角度來看，這就是我們感興趣的地方。”

對Hanai和Littlewood來說，這類似于創(chuàng)造激光。他們想知道：非平衡狀態(tài)如何影響物質躍遷到BEC或其他奇異量子態(tài)？特別是，這種變化如何影響系統(tǒng)的對稱性?

在物理學中，研究最多的相變出現(xiàn)在磁性材料中，像鐵或鎳這樣的磁性材料中的原子都有一種叫做磁矩（magnetic moment）的東西，可以理解它是一個很小的、單獨的磁場。

在磁體中，這些磁矩都指向同一方向并產生磁場。但是，如果將磁性材料加熱到足夠高，這些磁矩就會變得混亂，有些指向一個方向，有些指向另一個方向--整個磁場消失了，對稱性恢復了。

當它冷卻時，方向瞬間再次對齊，自由形態(tài)的對稱性被打破，并恢復磁性。

鳥群也可以被視為對稱性的破壞：它們不是以隨機的方向飛行，而是像磁鐵中的自旋一樣排列整齊。但是有一個重要的區(qū)別：鐵磁相變很容易用統(tǒng)計力學解釋，因為它是一個平衡系統(tǒng)。但是鳥類，以及交通中的細胞、細菌和汽車，因為它們有內部能量的來源，所以它們的行為不同。

Hanai和Littlewood因此開始了從生活中最常見的相變到BEC相變的研究。

以水為例：Littlewood說，盡管液態(tài)水和蒸汽看起來不同，但它們之間基本上沒有對稱性區(qū)別。從數(shù)學上講，在過渡點，這兩種狀態(tài)是不可區(qū)分的。在平衡系統(tǒng)中，那個點稱為臨界點。

臨界現(xiàn)象隨處可見——在宇宙學中，在高能物理學中，甚至在生物系統(tǒng)中，但在這些系統(tǒng)中都找不到一個很好的模型來描述量子力學系統(tǒng)與環(huán)境耦合時所形成的凝聚物，這種凝聚物經歷著持續(xù)的阻尼和抽吸（damping and pumping）。

Hanai和Littlewood懷疑臨界點和奇點有一些共同的重要屬性，即使它們顯然來自不同的機制。臨界點是一種有趣的數(shù)學抽象，但你無法區(qū)分這兩個階段。同樣的事情也發(fā)生在這些極化子系統(tǒng)中。

他們也知道，在數(shù)學的基礎上，激光，嚴格來說是物質的一種狀態(tài)，它和極化子BEC有著相同的基本方程。在2019年發(fā)表的一篇論文中，研究人員將這些點聯(lián)系起來，提出了一種新的、至關重要的通用機制，通過這種機制，奇點導致量子動力學系統(tǒng)中的相變。

“我們認為，這是對這些轉變的第一種解釋，”Hanai說。

大約在同一時間，Hanai說，他們意識到，即使他們在研究物質的量子態(tài)，他們的方程并不依賴于量子力學。

“我們開始懷疑，將相變與奇點連接起來，或許也可以應用于經典系統(tǒng)。”

但要實現(xiàn)這個想法，他們需要幫助。他們找到了 Vitelli ，以及Vitelli 實驗室中研究經典領域中的不尋常對稱性的研究員Michel Fruchart。他們兩個關注到了具有非互惠作用的超材料，例如，當超材料被壓在一邊或另一邊時，它們可能表現(xiàn)出不同的反應，也可能表現(xiàn)出特殊的點。

Vitelli 和 Fruchart 想知道：在極化子凝聚中，是否存在一些普遍的原理，是否存在一些關于能量不守恒系統(tǒng)的基本定律?

Vitelli 和同樣來自芝加哥大學的 Michel Fruchart 與 Littlewood 和 Hanai 一起，使用分叉理論的數(shù)學框架并放寬了對能量格局的通常假設，將他們的量子工作擴展到所有非互惠系統(tǒng)。

現(xiàn)在，他們四位開始尋找支持非互惠性和相變之間聯(lián)系的一般原則。對 Vitelli來說，這考驗動手能力。他習慣于構建物理機械系統(tǒng)來說明困難的抽象現(xiàn)象。例如，在過去，他使用樂高積木來構建格子，這些格子成為拓撲材料，邊緣移動方式與內部移動方式不同。

他說：“盡管我們談論的是理論，但仍然可以用玩具來證明。”

但他說，要想獲得特別的分數(shù)，樂高是不夠的。他意識到，使用可以自己移動但受非互惠規(guī)則支配的構建塊來建模。

但這里有一個非互惠性：每個機器人都被編程為與其他相同顏色的機器人對齊，但它們也被編程為非互惠行為：紅色機器人想要與藍色機器人對齊，而藍色機器人想要指向相反的方向。

這種安排保證了沒有一個機器人會得到它想要的東西。

該小組將機器人分散在地板上，并同時啟動它們。幾乎立刻就出現(xiàn)了一種模式。機器人開始移動，緩慢但同時地旋轉，直到它們基本上都在原地，朝著同一個方向旋轉。

Vitelli說，機器人沒有內置旋轉功能。“這是由于互動規(guī)則，他們總是在行動中受挫。但這些旋轉恰恰證明了一個系統(tǒng)不平衡時的相變。”

他們展示的對稱性破壞在數(shù)學上與Hanai和Littlewood在研究奇異量子凝聚時發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象一致。

為了更好地探索這種比較，研究人員轉向了數(shù)學領域的分岔理論。分岔是動態(tài)系統(tǒng)行為的一種質的變化，通常表現(xiàn)為一個狀態(tài)分裂為兩個狀態(tài)。

研究人員還模擬了兩組不同關系、以恒定速度移動的智能體。在左1，紅藍兩組隨機移動。但左2，藍色和紅色的智能體向同一個方向移動，自發(fā)打破對稱性并表現(xiàn)出群聚行為。在左3，紅藍兩組隨機向相反方向移動時，就會出現(xiàn)類似反群聚的行為。

在非互惠的情況下，在它們繞圈運行的地方出現(xiàn)自發(fā)對稱破缺。

數(shù)學家們畫出分岔圖來分析系統(tǒng)的狀態(tài)如何響應其參數(shù)的變化。通常，一個分叉將穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)分開來，也可以劃分不同類型的穩(wěn)定狀態(tài)。

它在研究與數(shù)學混沌相關的系統(tǒng)時很有用，在這種情況下，起始點的微小變化(開始時的一個參數(shù))可能引發(fā)結果的巨大變化。通過分岔點的級聯(lián)，系統(tǒng)從非混沌行為轉變?yōu)榛煦缧袨椤７植砼c相變有著長期存在的聯(lián)系，這四位研究人員基于這種聯(lián)系更好地理解了非互惠系統(tǒng)。

這意味著他們還必須考慮能源格局。在統(tǒng)計力學中，系統(tǒng)的能量景觀顯示了能量如何在空間中改變形式(如從勢能到動能)。在平衡狀態(tài)下，物質的各相對應于能量景觀的最小值——谷值。但是這種對物質相的解釋需要系統(tǒng)最終處于那些極小值，F(xiàn)ruchart說。

Vitelli 說，也許這項新工作最重要的方面是：它揭示了物理學家和數(shù)學家用來描述不斷變化的系統(tǒng)時，而出現(xiàn)的現(xiàn)有語言的局限性。他說，當平衡是給定的，因為沒有能量增加或損失，統(tǒng)計力學根據(jù)最小化能量來構建行為和現(xiàn)象。但是當一個系統(tǒng)失去平衡時，“必然地，你不能再用我們熟悉的能量語言來描述它，但你仍然可以在集體狀態(tài)之間進行轉換，”他說。新方法放寬了基本假設，即描述相變必須使能量最小化。

“當我們假設沒有互惠關系時，我們就不能再定義我們的能量了，” Vitelli 說，“我們必須將這些轉變的語言改寫為動態(tài)的語言。”

Vitelli 說，幾乎所有具有非互易行為的動力系統(tǒng)都值得用這種新方法進行探索。“這確實是朝著動態(tài)不受優(yōu)化原則控制的系統(tǒng)中集體現(xiàn)象的一般理論邁出的一步。”

為了證明他們的想法是如何協(xié)同工作的，研究人員分析了一系列非互惠系統(tǒng)。因為它們與奇點相連的相變類型不能用能量考慮來描述，但這些奇點對稱位移只能發(fā)生在非互惠系統(tǒng)中。這表明，除了相互作用之外，動力系統(tǒng)中還有一系列可以用新框架描述的現(xiàn)象。

Littlewood說，他們已經開始把這個理論推廣到其他不具有相同屬性的動力系統(tǒng)中。

Vitelli說，幾乎任何具有非互惠行為的動力系統(tǒng)都值得用這種新方法進行探索。“這確實是向不受優(yōu)化原則支配的系統(tǒng)中集體現(xiàn)象的一般理論邁出的一步。”

Littlewood 說，他最興奮的是在最復雜的動力系統(tǒng)之一：在人類大腦中尋找相變。

“我們接下來要研究的是神經科學，”他指出，神經元有“多種類型”，有時是興奮的，有時是抑制的。“很明顯，這是非對等的。這意味著它們的連接和相互作用可以通過使用分叉精確地建模，并通過尋找神經元同步和顯示周期的相位轉換。

這項工作可能與研究人員尚未認識到的其他數(shù)學主題有關，比如湍流傳輸或流體流動。但是非互易系統(tǒng)可能會表現(xiàn)出相變或其他空間模式，目前還缺乏適當?shù)臄?shù)學語言。

這項工作可能充滿了新的機會，也許我們需要新的數(shù)學。這是數(shù)學和物理相互聯(lián)系的核心，讓兩者都受益。

總結

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