数论倒数
ACM數論之旅6---數論倒數，又稱逆元（我整個人都倒了(￣﹏￣)）
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數論倒數，又稱逆元（因為我說習慣逆元了，下面我都說逆元）
數論中的倒數是有特別的意義滴
你以為a的倒數在數論中還是1/a嗎
(???)哼哼~天真
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先來引入求余概念
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(a + ?b) % p = (a%p + ?b%p) %p ?（對）
(a ?-? b) % p = (a%p ?- ?b%p) %p ?（對）
(a ?* ?b) % p = (a%p * ?b%p) %p ?（對）
(a ?/ ?b) % p = (a%p ?/ ?b%p) %p ?（錯）
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為什么除法錯的
證明是對的難，證明錯的只要舉一個反例
(100/50)%20 = 2 ? ? ? ≠ ? ? ?(100%20) / (50%20) %20 = 0
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對于一些題目，我們必須在中間過程中進行求余，否則數字太大，電腦存不下，那如果這個算式中出現除法，我們是不是對這個算式就無法計算了呢？
答案當然是 NO?(>o<)
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這時就需要逆元了
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我們知道
如果
a*x = 1
那么x是a的倒數，x = 1/a
但是a如果不是1，那么x就是小數
那數論中，大部分情況都有求余，所以現在問題變了
a*x ?= 1 (mod p)
那么x一定等于1/a嗎
不一定
所以這時候，我們就把x看成a的倒數，只不過加了一個求余條件，所以x叫做 ? ?a關于p的逆元
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比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2關于5的逆元，或者說2和3關于5互為逆元
這里3的效果是不是跟1/2的效果一樣，所以才叫數論倒數
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a的逆元，我們用inv(a)來表示
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那么(a ?/ ?b) % p = (a * inv(a) ) % p = (a % p * inv(a) % p) % p
這樣就把除法，完全轉換為乘法了?(。?ω?)，乘法超容易
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正篇開始
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逆元怎么求
(忘了說，a和p互質，a才有關于p的逆元)
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方法一：
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費馬曾經說過：不想當數學家的數學家不是好數學家（(￣▽￣)~*我隨便說的，別當真）
費馬小定理
a^(p-1) ≡1 (mod p)
兩邊同除以a
a^(p-2) ≡1/a (mod p)
什么(,,? ? ?,,)，這可是數論，還敢寫1/a
應該寫a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
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所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)
這個用快速冪求一下，復雜度O(logn)(? ??_??)??
1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 2 LL ret = 1; 3 while(b){ 4 if(b & 1) ret = (ret * a) % p; 5 a = (a * a) % p; 6 b >>= 1; 7 } 8 return ret; 9 } 10 LL Fermat(LL a, LL p){//費馬求a關于b的逆元 11 return pow_mod(a, p-2, p); 12 }
總結
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