首先,費馬小定理a與p互素,則a^(p-1)≡1(mod p)?
對于一個素數p,取a=10,那么10^(p-1)≡1(mod p)?
如果找到一個正整數e使得10^e/p-1/p為整數,那么e就是1/p的循環節（但不一定是最小的那個）,由費馬小定理知,在不大于p-1的正整數中,e是存在的!
這還意味著,1/p的第一個循環節正好就在小數點后面,是個純循環小數.
p-1是個和數所以10^(p-1)-1可以進行因式分解分解成為(10^p1-1)(10^(p-1-p1)+.+1)具體就不寫了,其中p1為p-1的因數,如果有一個比p-1小的e滿足“10^e/p-1/p為整數”那么這個e一定是p的約數.
（重要）Δ引理：一個循環小數除以2,其循環節大小不變?
證明：
1.每個循環節如果是偶數,顯然不變?
2.如果是奇數,可以將本循環節最后的那個奇數碼拿出一個1給后一個循環節,這樣新循環節就又是偶數了,不過這個循環節是有重合的,比如0.45454545...就變成0.44+0.0144+0.00144...前面雖然多了些不是循環節的部分,不過循環節部分為數不受影響.
2008=2*2*2*251,251是素數,這樣,我們只要求得1/251的循環節長度就好（除以2三次就是1/2008）?
根據最上面的那部分10^250≡1(mod 251),如果有更小的e滿足10^e≡1(mod 251),那么e是250的約數,250的約數有2,5,10,25,50,250?
還有,同余式可以乘的,就是如果a≡c(mod m),b≡d(mod m) 則ab≡cd(mod m)?
10^3≡-4(mod 251) 所以?
10^5≡-400≡102(mod 251) 10^5不滿足要求?
10^10≡10404≡113(mod 251) 10^10不滿足要求?
10^20≡12769≡-32(mod 251) 10^20不滿足要求?
10^25≡-3264≡-1(mod 251) 10^25不滿足要求?
10^50≡1(mod 251) 10^50滿足要求?
所以循環節的長度就是50
2008=2^3×251
φ(251)=250

250的正因數有1、2,5、10、25、50、125、250,x取上述正因數并且滿足10^x≡1 (mod 251)的最小的x是50,所以1/2008的循環節長度是50.沒有分,也勉為其難了,

如果上面沒看懂的話看證明文件點擊打開鏈接

總結

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