尋找不同路徑和

一個機器人位于一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

例如，上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

動態規劃5大步驟：

1.定義狀態：

即定義數據元素的含義，這里定義dp[i][j]為當前位置的路徑數，i表示i列，j表示j行。注意，這個網格相當于一個二維數組，數組是從下標為 0 開始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我們要找的答案。

2.建立狀態轉移方程：

因為從題目要求中可以看出，機器人只能向右或向下移動。

所以到達dp[i][j]就可能是經過dp[i-1][j]到達，也可能是經過dp[i][j-1]到達。

所以狀態轉移方程為：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

3.設定初始值：

通過狀態轉移方程可以看出，i和j下表要從1開始，否則會導致數組溢出異常。因為這個時候把 i - 1 或者 j - 1，就變成負數了，數組就會出問題了。同時每一個位置點代表到達當前位置的路徑條數，所以要設置最初的路徑條數即第一行，第一列值為1。

dp[i][0]=1（相當于最上面一行，機器人只能一直往右走）,

dp[0][j]=1，（相當于最左面一列，機器人只能一直往下走）

4.狀態壓縮：

上面時間復雜度：

,空間復雜度： ，優化目標

即優化數組空間，每次狀態的更新只依賴于前一次的狀態，優化一般作用于多維數組，觀察是否可以將多維數組以一維數組來動態表示，即用一維數組來保存上次的狀態,動態計算并替換當前位置下的路徑數最新值。這道題的優化方法是存在的。

當我們要填充第三行的值的時候，我們需要用到第一行的值嗎？根據公式 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，我們可以知道，當我們要計算第 j 行的值時，只用到第 j - 1 行。我們只需要用一個一維的 dp[] 來保存一行的歷史記錄就可以了。

1、剛開始初始化第一行，此時 dp[0..m-1] 的值就是第一行的值。

2、接著我們來一邊填充第二行的值一邊更新 dp[i] 的值，一邊把第一行的值拋棄掉。

（1）、顯然，矩陣(1, 0) 的值相當于以往的初始化值，為 1。然后這個時候矩陣 (0，0）的值不在需要保存了，因為再也用不到了。這個時候，我們也要跟著更新 dp[0] 的值了，剛開始 dp[0] = (0, 0)，現在更新為 dp[0] = (1, 0)。

（2）、接著繼續更新 (1, 1) 的值，根據之前的公式 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。即 （1，1）=（0，1）+（1，0）=2。

以往的二維的時候， dp[i][j] = dp[i-1] [j]+ dp[i][j-1]。現在轉化成一維，不就是 dp[i] = dp[i] + dp[i-1]

即 dp[1] = dp[1] + dp[0]，而且還動態幫我們更新了 dp[1] 的值。因為剛開始 dp[i] 的保存第一行的值的，現在更新為保存第二行的值。

狀態轉移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i].

初始值： f = [1]*m,取橫軸

5.選出結果：

根據狀態轉移方程，求路徑的總數，因此 dp[m-1] [n-1]表示的是到達最后位置的路徑總條數。

def uniquePaths( m, n):f = [[0]*n for zong in range(m)]for i in range(m):f[i][0] = 1for j in range(n):f[0][j] = 1for i in range(1,m):for j in range(1,n):f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-1]return f[m-1][n-1]

優化:

def uniquePaths( m, n):f = [1]*mfor j in range(1,n):for i in range(1,m):f[i] = f[i-1]+f[i]return f[m-1]

最小路徑和

給定一個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和為最小。

說明：每次只能向下或者向右移動一步。

示例:

輸入:
[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]
]
輸出: 7
解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

動態規劃5大步驟：

1.定義狀態：

即定義數據元素的含義，這里定義dp[i][j]為當前位置的最小路徑和，i表示i列，j表示j行。注意，這個網格相當于一個二維數組，數組是從下標為 0 開始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我們要找的答案。

2.建立狀態轉移方程：

因為從題目要求中可以看出，只能向右或向下移動。

所以到達dp[i][j]就可能是經過dp[i-1][j]到達，也可能是經過dp[i][j-1]到達。

不過這次不是計算所有可能路徑，而是計算哪一個路徑和是最小的，那么我們要從這兩種方式中，選擇一種，使得dp[i] [j] 的值是最小的，顯然有

所以狀態轉移方程為：

;

arr[i][j] 表示當前位置路徑值

3.設定初始值：

通過狀態轉移方程可以看出，i和j下標要從1開始，否則會導致數組溢出異常。因為這個時候把 i - 1 或者 j - 1，就變成負數了，數組就會出問題了。同時每一個位置點代表到達當前位置的路徑值，所以要設置最初的最小路徑和即

當只有左邊是矩陣邊界時： 只能從上面來，即當

時， dp[i][j] = dp[i][j - 1] + arr[i] [j] ；

當只有上邊是矩陣邊界時： 只能從左面來，即當

時， dp[i][j] = dp[i - 1][j] + arr[i][j] ；

當左邊和上邊都是矩陣邊界時： 即當i = 0, j = 0時，其實就是起點， dp[i][j] = arr[i][j]

4.狀態壓縮：

其實我們完全不需要建立 dp 矩陣浪費額外空間，直接遍歷 arr[i][j] 修改即可。這是因為：arr[i][j] = min(arr[i - 1][j], arr[i][j - 1]) + arr[i][j] ；原 arr矩陣元素中被覆蓋為 dp 元素后（都處于當前遍歷點的左上方），不會再被使用到。

復雜度分析：

時間復雜度

： 遍歷整個 arr 矩陣元素。

空間復雜度 O(1)： 直接修改原矩陣，不使用額外空間

5.選出結果：

根據狀態轉移方程，求路徑的總數，因此 arr[m-1] [n-1]表示的是到達最后位置的最小路徑和

def MinPathSum(arr:[[int]]):for i in range(len(arr)):for j in range(len(arr[0])):if i == j == 0:continueelif i==0: arr[i][j] = arr[i][j-1] + arr[i][j]elif j==0: arr[i][j] = arr[i-1][j] + arr[i][j]else:arr[i][j] = min(arr[i-1][j],arr[i][j-1])+arr[i][j]return arr[i-1][j-1]

編輯距離

給你兩個單詞 word1 和 word2，請你計算出將 word1 轉換成 word2 所使用的最少操作數 。

你可以對一個單詞進行如下三種操作：

插入一個字符
刪除一個字符
替換一個字符

示例 1：

輸入：word1 = "horse", word2 = "ros"
輸出：3
解釋：
horse -> rorse (將 'h' 替換為 'r')
rorse -> rose (刪除 'r')
rose -> ros (刪除 'e')

示例 2：

輸入：word1 = "intention", word2 = "execution"
輸出：5
解釋：
intention -> inention (刪除 't')
inention -> enention (將 'i' 替換為 'e')
enention -> exention (將 'n' 替換為 'x')
exention -> exection (將 'n' 替換為 'c')
exection -> execution (插入 'u')

解答

還是老樣子，按照上面步驟來，并且我這里可以告訴你，90% 的字符串問題都可以用動態規劃解決，并且90%是采用二維數組。

步驟一、定義狀態：

由于我們的目的求將 word1 轉換成 word2 所使用的最少操作數 。那我們就定義 dist[i] [j]的含義為：當字符串 word1 的長度為 i，字符串 word2 的長度為 j 時，將 word1 轉化為 word2 所使用的最少操作次數為 dp[i] [j]。

步驟二：建立狀態轉移方程：

接下來我們就要找 dist[i] [j] 元素之間的關系了，比起其他題，這道題相對比較難找一點，但是，不管多難找，大部分情況下，dist[i] [j] 和 dist[i-1] [j]、disti] [j-1]、dist[i-1] [j-1] 肯定存在某種關系。因為我們的目標就是，從規模小的，通過一些操作，推導出規模大的。對于這道題，我們可以對 word1 進行三種操作

插入一個字符 刪除一個字符 替換一個字符

由于我們是要讓操作的次數最小，所以我們要尋找最佳操作。那么有如下關系式：

1、若word1[i] == word2[j]，新字符相等，無需增加編輯距離即可直接轉換，即dist[i][j] = dist[i-1][j-1]

2、如果我們 word1[i] 與 word2 [j] 不相等，這個時候我們就必須進行調整，而調整的操作有 3 種，我們要選擇一種。三種操作對應的關系試如下（注意字符串與字符的區別）：

（1）刪除，最后操作是對word1刪除1個字符，，意味著刪掉word1[i]后兩單詞匹配，
也就是在word1[:i-1]和word2[:j]完成轉換的基礎上增加一次刪除操作實現，即dist[i][j] = dist[i-1][j] + 1
（2）插入，最后操作是對word1插入1個字符，意味著word2[j]由word1中新插入的字符對應，這是在word1[:i]和word2[:j-1]完成轉換基礎上增加一次插入操作實現，即dist[i][j] = dist[i][j-1] + 1
（3）替換，最后操作是對word1替換1個字符，意味著word1[i]替換成word2[j]后實現兩單詞匹配，即在word1[:i-1]和word2[:j-1]完成轉換基礎上增加一次替換操作實現，即dist[i][j] = dist[i-1][j-1] + 1

那么我們應該選擇一種操作，使得 dp[i] [j] 的值最小，顯然有

過程如圖3所示

第一行，是 word1 為空變成 word2 最少步數，就是插入操作

第一列，是 word2 為空，需要的最少步數，就是刪除操作

步驟三、設定初始值：

顯然，當 dist[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一個為 0，那么還能使用關系式嗎？答是不能的，因為這個時候把 i - 1 或者 j - 1，就變成負數了，數組就會出問題了，所以我們的初始值是計算出所有的 dist[0] [0….n] 和所有的 dist[0….m] [0]。

對于邊界情況，一個空串和一個非空串的編輯距離為 D[i][0] = i 和 D[0][j] = j，D[i][0] 相當于對 word1 執行 i 次刪除操作，D[0][j] 相當于對 word1執行 j 次插入操作。

步驟四、狀態壓縮：

實際上，定義了dist矩陣后，發現每個方格距離僅與其左、上、左上三個值有關，進而又可以僅定義一個一維距離列表和一個輔助列表實現記錄，從而優化空間復雜度.

這道題中，不能每次更新完 (i, j) 的值之后，就把 (i, j-1) 的值拋棄，也就是不能一邊更新 dp[i] 的值，一邊把 dp[i] 的舊值拋棄。以往只需要用到 (i-1, j) 和 (i, j-1)的值，但是這里還需要用到 （i-1, j-1) 這個值（但是這個值在以往的案例1 中，它會被拋棄掉）需要一個輔助列表 tmp 來時刻保存 (i-1,j-1) 的值。推導公式就可以從二維的

dist[i][j] = min(dist[i-1][j] , dist[i-1][j-1] , dist[i][j-1]) + 1

轉化為一維的

dist[i] = min(dist[i-1], tmp, dist[i]) + 1。

進一步地，考慮定義的三種操作構成對稱關系：在word1中刪除字符與在word2中插入字符其轉換效果是一致的，而替換更是對稱操作，從而由word1轉換為word2和由word2轉換為word1其最小編輯距離也是一致的。基于此，可根據word1和word2字符長短進一步優化空間復雜度為最小的那個維度

步驟五、選出結果：

根據狀態轉移方程，求路徑的總數，因此 dist[i] [j]表示的是最小編譯距離

def MinDistance(word1:str,word2:str):m = len(word1)n = len(word2)# 有一個字符串為空串if n*m ==0:return n+m# dist 數組dist =[[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]# 邊界狀態初始化for i in range(m+1):dist[i][0] = ifor j in range(n+1):dist[0][j] = j# 計算所有 dist 值for i in range(1,m+1):for j in range(1,n+1):if word1[i-1] == word2[j-1]:dist[i][j] = dist[i-1][j-1]    else:dist[i][j] = min(dist[i-1][j],dist[i][j-1],dist[i-1][j-1])+1return dist[m][n]

優化后：

class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:if len(word2)<len(word1):#保證word1是短單詞word1, word2 = word2, word1m, n = len(word1), len(word2)dist = list(range(m+1))#word2長度為0時，由不同長度word1轉換的編輯距離for i in range(1, n+1):tmp = [i]*(m+1)#word2長度為i時，由0長度的word1轉換的編輯距離for j in range(1, m+1):if word1[j-1] == word2[i-1]:tmp[j] = dist[j-1]else:tmp[j] = min(tmp[j-1], dist[j], dist[j-1]) + 1dist = tmpreturn dist[-1]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的建立二维数组_二维数组的 DP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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