在我剛讀物理專業(yè)時，看到各類科普書都在或多或少吹噓愛因斯坦是如何地相信對稱性，對稱性對物理產(chǎn)生了如何巨大的影響，那時候?qū)嵲跓o法理解對稱性是如何影響物理學(xué)，為什么說有了洛倫茲不變形就有了狹義相對論。在學(xué)到多重積分后，才強烈地感受到對稱性會給計算帶來巨大便捷！（這里說的對稱性，僅僅指積分函數(shù)是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，或者是在對球?qū)ΨQ區(qū)間作積分時積分函數(shù)具有輪換對稱性）直到大二下學(xué)期自學(xué)群論時，才知道什么是對稱性，以及對稱性是如何在數(shù)學(xué)上進行嚴格地表示，但由于當時比較注重證明，因此只看完群的基礎(chǔ)概念和群表示論、SU(2)、SO(3)Group就沒有精力再啃下去。

直到這學(xué)期親手分析了幾個物理例子，才真切地感受對稱性地對物理的影響，以及由此帶來的美感。比如從量子體系的對稱性直接得出能級簡并度，因此想在這里寫兩篇小文章，分享一下如下幾個小栗子順便引入群論中的部分概念，希望能給在學(xué)習(xí)群論或者將學(xué)習(xí)群論的想做物理的同學(xué)們一些激勵和幫助。

1.多極矩（球函數(shù)的生成） （

Group）。2.量子力學(xué)中的對稱群。

3. Graphene能帶。 4.鈣鈦礦（

group）中的 、 Orbit 和 Jahn-Teller畸變。

5. SPT Phase 與 磁群簡介

1. 旋轉(zhuǎn)操作（球函數(shù)生成及多極矩的定義）（這一部分的認識主要來自電動力學(xué)和高量的學(xué)習(xí)）

引言：除了在高中就學(xué)過的平移操作（將函數(shù)平移

: ），旋轉(zhuǎn)操作可以說是我們最熟悉的操作（這里只討論三維空間中的旋轉(zhuǎn)），繞某條軸 旋轉(zhuǎn) 角度稱為一個旋轉(zhuǎn)操作，記為 ；我們將三維空間中的所有旋轉(zhuǎn)操作組成的集合 { }稱為旋轉(zhuǎn)群，記為SO(3)。

• 標量：考慮常量C，不難想象，不論我們?nèi)绾涡D(zhuǎn)坐標系，這個常數(shù)始終保持不變，我們稱這樣的量為標量。
• 笛卡爾矢量：考慮一個函數(shù) (其中C是標量),如果我們對坐標軸做旋轉(zhuǎn) ，不難看出經(jīng)任意的旋轉(zhuǎn)操作后產(chǎn)生的新的函數(shù)都可寫成： 且 （旋轉(zhuǎn)不改變矢量的長度）。

（1）.因此這里的任意函數(shù)都可以用數(shù)組

來表示，我們通常記 稱為坐標， 稱為函數(shù)空間的基。用狄拉克符號就一目了然了： 。

（2）.我們稱{

}為旋轉(zhuǎn)群 作用在 張成的不變子空間，而在這個空間下旋轉(zhuǎn)操作總可以用線性變換矩陣表示，我們稱這樣的線性變換為旋轉(zhuǎn)群 的一個不可約表示，且稱這個不可約表示的維度為3。

（3）.若物理量

與坐標 在對稱操作下具有相同的變換關(guān)系，則稱物理量 為矢量，例如速度 、偶極矩 。

（注：a.這里考慮的是笛卡爾坐標下的函數(shù)，因此稱其中的系數(shù)數(shù)組為笛卡爾矢量。b.同理在狹義相對論中是從四維坐標定義出四維矢量。c.在量子力學(xué)中矢量的定義與經(jīng)典不同，參見櫻井現(xiàn)代量子力學(xué)3章.11節(jié)，個人認為主要區(qū)別在于角動量在經(jīng)典理論中不是矢量，在量子理論中是矢量）

• 笛卡爾張量：現(xiàn)在我們考慮函數(shù) ,同上將所有旋轉(zhuǎn)作用在函數(shù) 上：，我們發(fā)現(xiàn)所有可能的新函數(shù)總可以寫成二次型: 或者

(其中 )

由于

在旋轉(zhuǎn)操作下總是不變的，可見 是一個標量，因此 中的"獨立變量"只有五個；直觀的看：

取 , 。

這里請注意在旋轉(zhuǎn)操作下只有五個量會發(fā)生改變，而C是一個在旋轉(zhuǎn)操作下不變的量！因此，在這里我可以記{

}為函數(shù)空間的基（我這里這組基的選取并不是正規(guī)的形式，僅僅是為了與我上面寫的矩陣相對應(yīng)）。

（1）我們稱矩陣

為二階笛卡爾張量。與上面的（3）同理，我們可以定義滿足條件的物理量為二階笛卡爾張量。如這里的四極矩 。

（2）旋轉(zhuǎn)群作用在

上會張出一個5-D不變子空間直和上一個1-D不變子空間。

同理，我們可以從旋轉(zhuǎn)作用在更高階的函數(shù)上（例如三階

）寫出更高階的笛卡爾張量。

• 總結(jié)：

扯的有點廣。。。 子標題“旋轉(zhuǎn)操作（球函數(shù)的生成及多極矩）”；為什么提多極矩呢？不難發(fā)現(xiàn)，我這里的討論都是從一個冪次函數(shù)出發(fā)的，如

;不管在哪一本電動力學(xué)的教材里只要講多極矩，都會給我們說一個把 或者勢函數(shù) 按遠場條件 做泰勒展開的故事，然后得到一系列積分： 其中（ ）；而上述積分實際上就是在求一個廣義傅里葉展開的系數(shù)；而考慮到這些系數(shù)其實并非全部獨立，因此我們可從旋轉(zhuǎn)操作出發(fā)取尋找相互獨立的傅里葉系數(shù)，而這些系數(shù)就對應(yīng)于轉(zhuǎn)動操作的不變子空間，用群論的語言說是將冪級數(shù)對應(yīng)的線性空間在旋轉(zhuǎn)不變子空間上做直積分解，而這些不變子空間的基是球函數(shù)或是可以通過一個幺正變換變到球函數(shù)：

(例:

)

此外，在我處理二階笛卡爾張量的時候，我們已經(jīng)看到了它可以分解為一個五維以球函數(shù)為基空間直和上一個一維以球函數(shù)為基的空間。如果我們處理一個三階笛卡爾張量時，我們會發(fā)現(xiàn)它可以分解為7-D與3-D直和;在學(xué)角動量理論時，我們知道這樣一個旋轉(zhuǎn)操作的不可約表示可以對應(yīng)于不同自旋或不同的軌道，在學(xué)習(xí)角動量的耦合時，我們會發(fā)現(xiàn)以上的這些操作空間的直和分解其實可以與角動量的耦合一一對應(yīng)。如3階笛卡爾張量對應(yīng)于一個角動量

與另一個角動量 的耦合。

• 疑惑：

這種生成方式只關(guān)注了對稱張量，反對稱張量對應(yīng)于磁多極矩（參見輻射的多極矩展開），那我們應(yīng)該怎么處理？這里還有一部分沒有說清楚的物理。

2.哈密頓量的對稱群與簡并空間

若操作

滿足 ，則稱 為對稱操作。

考察在哈密頓量本征方程做對稱操作：

由此可見通過對稱操作得到的態(tài)

與 態(tài) 具有同樣的能本征值。

我們稱所有對稱操作

構(gòu)成的集合 { }為哈密頓量的對稱群。

我們將所有的對稱操作作用在某一個能量本征態(tài)

上，即可得到 能量本征值 的所有簡并態(tài)，因此稱這所有的態(tài)矢構(gòu)成的空間為哈密頓量的簡并子空間，但考慮到這些態(tài)矢并不都是線性獨立的，因此我們需要去找到一組線性獨立的基，這組基的數(shù)量便是本征子空間的維數(shù)、能量簡并度、對稱群不可約表示的維度，因此我們還需要一點群表示論的知識來幫助我們分析兼并子空間的維度這將在下一篇文章中給出。最后到這里，順便提一句對稱性破缺：一個物理系統(tǒng)所處狀態(tài)的對稱性群{ }一般是系統(tǒng)幾何對稱群{ }的子群。

總結(jié)：我們只需分析量子系統(tǒng)的對稱性即可得出體系中的不同能量的簡并度；甚至不需要知道系統(tǒng)的具體細節(jié)。 當我們處理復(fù)雜物理系統(tǒng)時，細節(jié)不再容易被抓住，因此對稱性分析成了關(guān)鍵性的手段。

所以，凝聚計算組的老板在看學(xué)生畫的能帶圖之前首先會問這個材料具有哪個空間群，要是沒給，老板可能會覺得學(xué)生在瞎畫。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数组对称_对称性应用在物理中的几个小例子的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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