2021 年第十一屆 MathorCup 高校數學建模挑戰賽A題分析

• 題目：自動駕駛中的車輛調頭問題
• 問題分析
• • 前言
  • 綜述
  • 問題一分析
  • 問題二分析
  • 問題三分析
  • 問題四分析
  • 問題五分析
  • 問題六分析

題目：自動駕駛中的車輛調頭問題

自動駕駛是近年人工智能應用的熱門研究領域之一，其中調頭是自動駕駛中一個非常實際又很有趣的場景。假設無人車為四輪乘用車，采用前輪轉向后輪驅動；車身可認為是一個矩形，車長 5 米，車寬 2 米，軸距 2.8米；方向盤最大轉角 470°，方向盤與前輪轉角的傳動比為 16：1（方向盤每轉動 16°，前輪轉動 1°），方向盤最大轉速為 400°/s；最大油門加速度 3m/s2，極限剎車加速度-5m/s2。

無人車的軌跡，指的是一條含有位置和時間等信息的曲線，它由一列軌跡點構成，各個軌跡點中應包含位置坐標、方向角、曲率、曲率變化率、速度、加速度及運動到此點時的時間等信息。這里軌跡指的是車身中某一特定點的軌跡，即控制點。控制點是事先選定的，通常位于無人車車身對稱軸（車身可以近似認為是左右軸對稱的）上的一點，在行駛時，控制點的位置會與軌跡點相重合，控制點處的速度方向將與軌跡點的方向角一致。由于無人車的車輛動力學性質和安全性要求，軌跡必須滿足以下條件：
（1）任何點的加速度不得高于最大油門加速度，不得低于極限剎車減
速度；
（2）無人車朝向和方向盤轉角都不能突變，軌跡線必須是連續、且切線方向連續，當無人車不是靜止時，曲率也必須連續（靜止時可以原地打方向，非靜止時不能）；
（3）軌跡線的最大曲率應盡量不高于 0.205，禁止高于 0.21；
（4）按軌跡行駛時，在調頭完成之前，無人車車身任何點不得與任何障礙物或者掉頭區域邊界發生碰撞，且與障礙物至少保留一個最小安全距離，一般不小于 30cm。無人車調頭軌跡在保證上述條件之外也應具備盡可能舒適的駕乘體感，以及具備盡可能高的通行效率，同時出于規范駕駛的考慮，盡量減少不必要的壓車道線行駛。

請參賽者按照下面問題中簡化版的無人車調頭場景和附件數據，建立無人車安全快速調頭的數學模型，設計無人車調頭軌跡的計算方法，在輸入外部道路和障礙物信息后，計算出合理可行的無人車軌跡。同時，由于附近障礙物可能由于視野問題被遮擋，導致調頭中周圍環境信息發生變化，軌跡應當是可以實時更新的。附件數據文件中的邊界線均表示為折線點列，按坐標點從上到下的順序連接形成；所有障礙物均以多邊形表示，其中的點均按逆時針順序排列，路況簡圖見數據文件。請你們的參賽隊完成以下問題：

問題 1：如圖 1 所示場景，無人車（用橙色矩形表示）正在最左側車道準備調頭，存在三個對向車道。附件數據文件中，掉頭區域邊界以紅色邊框 A 表示，兩條對向車道線以 B、C 表示（均為路面上的虛線），中間的隔離障礙物以 D 表示。無人車起始位置已經在附件數據文件中給出，當無人車身觸碰到對向的掉頭區域邊界（圖 1 中綠色部分）時，認為調頭完成。請闡述控制點位置，解釋其理由；基于此建立無人車調頭的數學模型，并給出一個合理可行的算法設計，給出調頭軌跡。

圖 1： 無人車調頭場景 1

問題 2：當掉頭區域狹窄時，判斷什么樣的場景下無人車能夠在不倒車的情況下完成調頭，什么情況需要至少一次倒車（如圖 2 場景 2，藍色箭頭表示向前，紅色箭頭表示倒車）才能通過。建立相應的無人車調頭的數學模型，給出合理的算法設計，并給出仿真結果。

圖 2： 無人車調頭場景 2

問題 3：如圖 3 場景，如果道路上還存在其它靜止障礙物（附件數據文件中以 F 和 G 表示），當僅存在 F、僅存在 G、或二者都存在時，建立相應的無人車調頭的數學模型，給出合理的算法設計，并給出調頭軌跡，你的算法應明確如何進行避障？

圖 3： 無人車調頭場景 3

問題 4：按交規規定，如果道路上存在人行橫道即斑馬線，其所占區域在附件數據文件中以 E 表示，則無人車需要盡可能在不壓人行橫道的情 況下過，如果無法做到，則需要越過（后輪越過）人行橫道后再開始調頭，禁止騎人行橫道調頭（如圖 4 場景 4 所示）。其中標識“√”的為可行通行方式，標“×”為騎人行道調頭方式。建立相應的無人車調頭的數 學模型，給出合理的算法設計和相應的調頭軌跡；當斑馬線和障礙物同時 存在時（如圖 5 場景 5 所示），你的模型和算法如何同時滿足交規并進行避 障繞行？

圖 4： 無人車調頭場景 4

圖 5： 無人車調頭場景 5

問題 5：無人車在實際路況行駛中進行調頭時，道路中的障礙物通常是處于移動狀態，如對向來車等，針對圖 3 和圖 5 的兩種場景，假設圖中 標識的障礙物位置為無人車處在起始時刻的初始位置，障礙物以一定的速度移動，假設只考慮與道路平行方向移動，請建立更一般的無人車調頭軌跡規劃模型并給出相應算法設計和無人車調頭策略，給出仿真結果。
問題 6：為保證無人駕駛的安全性，無人車的軌跡規劃算法必須擁有盡可能高的求解成功率（應傾向使用更收斂更穩定，失敗率更低的計算方 法）同時為了能對路況進行快速反應，需要以盡可能高的頻率進行計算（計算復雜度盡量低）。你的算法如何在求解成功率和求解耗時這兩方面優化？

問題分析

前言

數學建模主要是讓大家構建自己的模型，只要能解決問題的模型就是好模型，無標準答案。我個人的分析過程大致如下文，僅個人觀點不一定是正確的，不說太多怕限制了大家的思維哈哈哈

綜述

此題主要研究多種環境下自動駕駛車輛的調頭策略與軌跡規劃問題，首先通過建立多重相關模型得到影響無人車運行軌跡的主要影響因素，接著在多條件下進行細節分析與規劃，從而解決個環境下的無人車調頭軌跡規劃問題。

問題一分析

由于控制點處的速度方向與軌跡點的方向角一致且位于車身對稱軸處，而無人車前輪為轉向輪，因此控制點的位置即可找到。無人車運動軌跡為連續的曲線且切線方向連續，同時無人車的運動過程總體而言為為變加速運動，因此可以用積分模型進行定義。加之對個坐標方向位移的分解與各點的受力分析，即可求解得到各方向位移與無人車速度、方向角等因素的關系，最終得出軌跡的設計算法模型。

問題二分析

當存在障礙時，基于問題一的模型，我們只需求解無人車軌跡中我們使無人車在視野沒過障礙物時方向盤轉角為最大值且車身朝向直線行駛方向。在該情況下方能使得調頭的橫向距離最小。在該過程中無人車首先行駛至滿足對應的條件，隨后無人車以最大轉速轉向，持續半個圓周后開始回旋方向盤是的無人車保持直線行駛，此時圓周的直徑加上車身寬度即為一次通過的車道最小寬度，從而得出是否需要調頭的條件。

問題三分析

存在多個靜止障礙物時，作為無人駕駛汽車需要實時從周邊環境中獲取障礙物信息。對于障礙物G，其位置位于障礙物D的對應方向，在越過D后我們需要判斷控制點與障礙物的水平距離與距離障礙物末端的直線距離。對于障礙物F，需要對調頭后的無人車位置與相關因素進行分析。當F與G同時存在時則需要在越過G后同時考慮車身與兩個障礙物間的距離，再根據距離進行實時調節即可保證安全高效地調頭通過該路口。

問題四分析

當道路中存在人行橫道時，可通過增加約束條件來判斷該進行提前調頭或是延后調頭并按照一定標準進行判斷從而得出能否率先通過。當道路中同時存在人行橫道與障礙物時同樣的方法加入障礙物信息進行判斷是否能夠先行。若無法先行在通過人選道后需要再次以繞障模型軌跡進行運動以繞過障礙物。

問題五分析

當存在多個移動障礙物時，我們基于相對運動原理進行分析計算從而解決運動問題。因此我們需要對障礙物分類為障礙物i（i=1，2，…），運用相對運動原理時構建的慣性系分類為慣性系i（i=1，2，…）。為了描述方便我們記預設軌跡路線為無人車在此處直接轉彎而形成的軌跡路線。

問題六分析

我們的算法將一般的單自變量模型轉為多自變量模型在處理數據時可以同時處理進而縮短數據處理時間，極大提高了求解頻率。通過積分求解出的軌跡路線必定連續，且切線方向連續，大大提高了算法的穩定性、求解成功率與數據的可溯源性，便于軌跡的檢驗。同時在對于一些參數值的優化，在我們的模型中可以使用蟻群算法或是粒子群算法進行優化。從而得到成功率與求解耗時兼顧的參數取值，得到更加準確且高效的模型結果。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021 年第十一届 MathorCup 高校数学建模挑战赛A题分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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