MMSE是一種最小化接收數(shù)據(jù)的MSE(均方誤差)的模型。關(guān)于這句話，你的腦海里就會(huì)出現(xiàn)很多問題:

什么是均方誤差?

“最小化MSE”的物理意義是什么?

讓我們從一個(gè)我們現(xiàn)在非常熟悉的信道模型開始.

MMSE作為一種均衡器，是一種后處理算法，它幫助我們找出接收到的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)(傳輸數(shù)據(jù))盡可能接近的數(shù)據(jù)。簡(jiǎn)而言之，在MMSE中最重要的步驟是在下面的例子中找到一個(gè)矩陣G。如果我們假設(shè)沒有噪聲，這個(gè)[G]矩陣可以是信道矩陣的逆。但是當(dāng)有噪聲時(shí)，我們需要使用一些能夠反映噪聲的模型。MMSE就是這些算法之一。

現(xiàn)在我們?cè)O(shè)定一個(gè)目標(biāo)，也就是我們要解決的目標(biāo)函數(shù)。然后，我們需要找出如何求解目標(biāo)函數(shù)。有幾種不同的方法可以達(dá)到這個(gè)解決方案。我的方法是解下面這個(gè)方程。當(dāng)我第一次學(xué)習(xí)這個(gè)方程時(shí)，我的第一個(gè)問題是這個(gè)方程的意義是什么。如果您更仔細(xì)地觀察它，您會(huì)發(fā)現(xiàn)這些方程表示一個(gè)特定的條件，即接收的數(shù)據(jù)向量和錯(cuò)誤向量之間沒有相關(guān)性。

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我的下一個(gè)問題是“這個(gè)特定的條件如何成為最小化誤差的最小最小誤差的條件?”，簡(jiǎn)而言之，“這如何成為MMSE的條件?”

以下是一個(gè)FPGA工程師的評(píng)論，他教我在物理層的各種主題。一開始可能聽起來不那么清楚，但是多想想就會(huì)明白了。

在MMSE中，矩陣G應(yīng)該是這樣一個(gè)矩陣，即利用接收信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性使MSE最小化。如果“y”和“e”之間仍然存在一定的相關(guān)性，那么應(yīng)該可以利用這種相關(guān)性來降低“e”的范數(shù)。所以，在最優(yōu)點(diǎn)，y和e之間應(yīng)該沒有相關(guān)性。(如果不是，我們應(yīng)該能夠利用相關(guān)性進(jìn)一步降低“e”的范數(shù)。)

這就是為什么我們可以通過使用聲稱接收信號(hào)“y”與誤差“e”之間的相關(guān)性為零的準(zhǔn)則來推導(dǎo)出MMSE最優(yōu)矩陣G的原因。

一旦你得到了要解的對(duì)象方程并理解了它的物理(或統(tǒng)計(jì))意義，剩下的步驟就是高中數(shù)學(xué)了。我給你的一個(gè)建議是，在你找到最終的解決方案之前，不要過多地考慮解決方案的物理意義。大多數(shù)中間步驟是純粹的數(shù)學(xué)操作，在大多數(shù)情況下沒有具體的物理意義。當(dāng)然，在某些情況下，我們需要考慮物理意義，例如在解決方案過程中刪除某些術(shù)語時(shí)。但在大多數(shù)情況下，這個(gè)求解過程只是數(shù)學(xué)操作。

首先，您可以展開如下過程中給出的對(duì)象方程。不要害怕，拿出一張紙和一支筆，用手寫下每一步。你會(huì)發(fā)現(xiàn)這是真正的高中數(shù)學(xué)。

現(xiàn)在我們有了用兩個(gè)E{}塊表示的矩陣[G]。讓我們進(jìn)一步擴(kuò)展這些塊。
然后你可能會(huì)問為什么要做更多的擴(kuò)展?為什么我們不能使用這個(gè)結(jié)果作為解決方案?
要使用它作為一個(gè)解，你需要知道方程中的所有值。
讓我們看看這一行(上面的最后一行)中的每一項(xiàng)，并檢查我們是否知道所有的值。
我們能知道[y]向量嗎?是的，因?yàn)樗墙邮辗绞紫葘?shí)際檢測(cè)/測(cè)量的值。
那么[x]向量呢?它是傳輸數(shù)據(jù)。如果這個(gè)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)是一個(gè)參考信號(hào)，我們可以說我們知道這個(gè)值，但是如果它是用戶數(shù)據(jù)，我們就不知道這個(gè)值。
現(xiàn)在讓我們逐個(gè)展開每個(gè)E{}塊。讓我先試試第二個(gè)E{}塊。(我先擴(kuò)展第二個(gè)block并沒有什么特別的原因。我只是做了:)。在這個(gè)過程中，您可以看到一些術(shù)語(用顏色標(biāo)記)被刪除，并被其他更簡(jiǎn)單的形式所取代。這是基于術(shù)語的物理性質(zhì)。對(duì)于如何刪除或替換這些術(shù)語，沒有純粹的數(shù)學(xué)上的原因。

現(xiàn)在我們有了由已知值組成的表達(dá)式。[H]為信道矩陣。我們假設(shè)在信道估計(jì)過程中我們已經(jīng)求出了這個(gè)矩陣。我們知道P，因?yàn)槲覀儧Q定了傳輸功率。那么“噪聲方差”呢?我們不可能確切地知道每個(gè)接收到的數(shù)據(jù)的噪聲值，但是我們可以計(jì)算出噪聲的長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)特性。噪聲方差是噪聲的一種長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

接下來，讓我們展開第一個(gè)E{}塊。它可以如下所示展開。在這個(gè)過程中，您也會(huì)看到一些術(shù)語(用顏色標(biāo)記)被刪除，并被其他更簡(jiǎn)單的形式所取代。這是基于術(shù)語的物理性質(zhì)。

現(xiàn)在我們有了兩個(gè)E{}塊的展開形式，讓我們用展開的表達(dá)式重寫[G]矩陣，它變成如下形式。

現(xiàn)在你看到整個(gè)[G]矩陣本身是用所有已知的值表示的。在實(shí)際的DSP或FPGA中要解決這個(gè)表達(dá)式，可能需要進(jìn)一步的操作(比如:矩陣分解)，但只是為了理解MMSE的概念，這就足夠了。

即使你通過這個(gè)漫長(zhǎng)而乏味的數(shù)學(xué)過程，我們還面臨另一個(gè)大的問題：為了推導(dǎo)G，我們需要知道的信道矩陣H，我們?cè)趺粗浪?'。這是你需要學(xué)習(xí)的另一個(gè)復(fù)雜和無聊的話題叫做“信道估計(jì)”。
注:以上方程中H的解釋因系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)而略有不同。如果我們假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)不做任何放大或預(yù)編碼，H只表示空氣信道的特性，如圖所示。但如果我們假設(shè)一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的實(shí)現(xiàn)，執(zhí)行一些預(yù)編碼和擴(kuò)增，H表示一個(gè)矩陣，其中包括預(yù)編碼和擴(kuò)增的性質(zhì)。在數(shù)學(xué)上，這里的H可以表示為'Amp * H * P'，其中Amp為放大器，H為空氣中的信道矩陣，P為預(yù)編碼矩陣。
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如果您對(duì)獲取MMSE實(shí)現(xiàn)的一些示例感興趣，請(qǐng)參閱此頁。我發(fā)布了一些MMSE均衡的Matlab例子。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MMSE(Minimum Mean Square Error)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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