【转】初等数论 ——原根、指标及其应用
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學習總結(jié)：初等數(shù)論（3）——原根、指標及其應用??
2016-05-19 15:58:28|??分類：?信息學——學習總?|??標簽：初等數(shù)論??數(shù)學??|舉報|字號?訂閱
學習總結(jié)：初等數(shù)論（3）——原根、指標及其應用
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最近知道了一本書叫《數(shù)論概論（第3版）》（A Friendly Introduction to Number Theory），簡單翻了翻，感覺這本書寫的非常好。想起以前剛接觸數(shù)論時，沒有看這本書來入門，真是十分遺憾。這本書面向非數(shù)學專業(yè)讀者，語言生動幽默而不失嚴謹性，注重對知識的感性認識（用了大量的例子），和對數(shù)學思想和方法的滲透（比如：大膽猜想規(guī)律，證明時用“計數(shù)”法等）。這里強烈推薦這本書！
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下面總結(jié)一下這幾天學習的內(nèi)容。
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一、整數(shù)的階
a與n是互質(zhì)的兩個數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)，總存在某個數(shù)x，滿足?ax?≡ 1(mod?n)。
使ax?≡ 1(mod?n)滿足的最小的正整數(shù)x叫做a模n的階（或次數(shù)），記做ena（有的地方記做ordna）。
怎么理解呢？你要不斷計算a，a2，a3，…，（注意要模n）我們知道，根據(jù)鴿巢原理，一定會有循環(huán)。而a和n互質(zhì)時，總會在某個時刻出現(xiàn)了1，下一個時刻又是a，……于是就有了循環(huán)。這個出現(xiàn)1的最小的指數(shù)，叫做a的階。
比如：我們要找3模7的階，計算31，32，…，36模7的值依次為：
3，2，6，4，5，1，
所以我們得到3模7的階為6。
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a與n互質(zhì)時，根據(jù)歐拉定理有a?(n)≡1(mod?n)。這么說來，剛才我們不斷計算a的冪的循環(huán)節(jié)的長度（即a的階）“擴增”若干次后應該為?(n)。所以，
ena?|??(n)。
同樣的道理，為了使方程?ax≡1(mod?n)有解，應該把循環(huán)節(jié)長度“擴增”若干次后得到x，所以
ena?|?x
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二、原根
設a與n是互質(zhì)的整數(shù)，當a模n的階為?(n)時，把a叫做n的原根。
怎么理解呢？我們計算a的冪的序列，第一次得到1的時候，得到了完整的一個循環(huán)節(jié)。我們上面已經(jīng)說了，?(n)一定是(a模n的階)的倍數(shù)。如果這個循環(huán)節(jié)的長度恰好就是?(n)（循環(huán)節(jié)的長度已經(jīng)達到最大了），那么a就是n的原根。
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（1）原根的存在性
一個數(shù)可能有很多個原根，也可能沒有原根。可以證明：
正整數(shù)n存在原根，當且僅當
n?= 2, 4,?pt或2pt（其中p是奇素數(shù)，t是正整數(shù)）。
舉例：5的原根有2和3；7的原根有3和5。
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（2）原根的一個性質(zhì)
原根為什么這么重要？
設g是n的一個原根，那么：g，g2，g3，…，g?(n)(即g0≡1(mod?n))一定兩兩不同。（如果有相同，比如說存在0≤i<j<?(n)滿足gi≡gj(mod?n)，那么就會有gj-i≡1(mod?n)，而j?–?i<?(n)，這時?(n)就不是g的階了）
看看方程ax≡1(mod?n)，如果x是存在的，那么a一定是與n互質(zhì)的數(shù)（如果a和n有某個大于1的公因子，無論a怎么取冪再模n，這個公因子都“消不掉”，不會有ax?mod?n?= 1）。所以“合法”的a有?(n)個。而我們找到一個原根g后，g的冪（g，g2，g3，…，g?(n)）一定就是這些合法的a（即與n互質(zhì)的?(n)個數(shù)。因為g與n互質(zhì)，g的冪也與n互質(zhì)，而這些冪又兩兩不同，一定能把“與n互質(zhì)的數(shù)”取盡）。
一句話總結(jié)上面的內(nèi)容：對于n的一個原根g，滿足
{ 1，g，g2，g3，…，g?(n) – 1?} = {?x?|?x與n互質(zhì)，1≤x<n?}
特別地，對于奇質(zhì)數(shù)p的一個原根g，滿足
{ 1，g，g2，g3，…，gp?– 2?} = { 1, 2, 3, …,?p?– 1 }
（3）原根的個數(shù)
一個數(shù)n，如果存在原根，就一定?(?(n))個。怎么證明呢？為此我們先討論下面這個問題：
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已知a模n的階ena，怎么求au的模n的階？
設au模n的階為t，那么t應該是最小的正整數(shù)，滿足(au)t≡aut≡1 (mod?n)。
由之前的討論，可以知道：u×t應該是ena的倍數(shù)，并且t最小。
由數(shù)論的基本知識可以得出，enau?=?t?=?ena?/ gcd(u,?ena)。
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如果我們找出一個原根g，怎么得出其他的原根？
首先，其他的原根一定是g的若干次冪。
哪些“g的若干次冪”可以成為原根？
用原根的定義！
對于某個“g的若干次冪”，比如gi?(0≤i<?(n))，由上面的結(jié)論得出，它模n的階為
?(n) / gcd(i,??(n))
欲使它的階也為?(n)，即
?(n) / gcd(i,??(n)) =??(n)
需要使gcd(i,??(n)) = 1，也就是i和?(n)互質(zhì)。
有多少個i滿足它和和?(n)互質(zhì)？換句話說，在0 ~??(n)–1的數(shù)中，有多少個與?(n)互質(zhì)？答案應該是?(?(n))。所以，一個數(shù)如果有原根，那么它有?(?(n))個原根。
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下面舉個例子：
7的原根有?(?(7)) =??(6) = 2個，最小的一個是3。
在32，33，…，36中，哪個指數(shù)與6互質(zhì)？只有5，所以另一個原根是35≡5(mod 7)。
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怎么找原根？
通常最小的原根都比較小，所以暴力從1開始枚舉就可以了。判斷一個數(shù)a是不是n的原根，需要判斷?(n)是否是a的階，直接的判斷方法是枚舉?(n)的每一個因子d（除去它本身），判斷是否ad≡1(mod?n)。但這樣做了很多重復的判斷。
比如我們要判斷a模n=37的階是否為36，那么只需找出36的兩個質(zhì)因子2和3，只需判斷36/2和36/3作為a的冪的指數(shù)時，(a的冪) mod?n是否為1。如果a的階為36/4，36/9，36/6，36/12，…，其實情況已經(jīng)包含在上面的判斷中了。（比如，如果a36/9≡a4≡1(mod?n)，那么一定也會滿足a36/2≡3618≡1(modn)）。
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三、指標（離散對數(shù)）
求原根有什么作用？為了計算指標！
對于n的一個原根g，滿足
{ 1，g，g2，g3，…，g?(n) – 1?} = {?x?|?x與n互質(zhì)，1≤x<n?}
再具體一些，可以定義一種“求冪”的運算，這種運算揭示了兩個集合的一一對應關系：
i?→?gi?(1≤i≤?(n))
為什么是一一對應關系？因為gi一定兩兩不同。這一點已經(jīng)討論過了。
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那么，是否有一種“求冪”運算的逆運算？有！
求出n的一個原根g，知道了某個與n互質(zhì)的數(shù)a，n是g的多少次方？
我們用I(a)來表示這個“次方”數(shù)，叫做以g為底a模n的指標。（有的地方記做indga）
也就是，依照定義，應該有gI(a)≡a(mod?n)（a與n互質(zhì)）。
顯然，指標的范圍是0≤I(a)<?(n)，當指標超過?(n)時，出現(xiàn)了循環(huán)，可以把指標mod??(n)進行簡化。
有點像我們以前學過的對數(shù)？（不嚴謹?shù)恼f，有點像logga？）也許這就是為什么指標也叫離散對數(shù)了。
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當n為質(zhì)數(shù)時，原根g一定存在，而且?(n) =?n?– 1，這樣，每個在1~n–1范圍內(nèi)的數(shù)都有指標！
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我們可以根據(jù)冪的運算法則，對應得出指標的運算法則：
(1)?I(ab) =?I(a) +?I(b) (mod??(n)) ?（類比：logaNM?= logaN?+ logbM）
(2)?I(ak) =?k×I(a) ? （類比：logaNM?=?M×logaN）
指標把乘法變加法，把冪變乘法，這一點與對數(shù)的運算法則多么相似！
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如果有一個指標表，我們可以十分簡便地進行運算。舉例：
n?= 37，它的一個原根是a?= 2。
要計算23×19 mod 17的值，可以計算
I(23×19) ≡?I(23) +?I(19) ≡ 15 + 35 ≡ 50 ≡ 14 (mod 36)
然后，查表可以得出，指標為14的數(shù)是30，就是要求的答案了。
很麻煩？
再看一個例子：
I(2914) ≡ 14 ×?I(29) ≡ 294 ≡ 6 (mod 36)
由表得：I(27) = 6，所以2914?≡ 27 (mod 37) ?
你也許會說：有快速冪！在前兩個例子中，似乎指標的優(yōu)勢沒有體現(xiàn)出來。不過，在解方程的時候，指標就很有用了。
解同余式：
擴展歐幾里得？好像也能解。不過，像下面這樣的同余式呢？
只能用指標來解。兩邊同時求離散對數(shù)：
可以解出：
事實上，最后一個例子是指標最重要的運用之一。等會兒我們會詳細討論。
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但是，之前的計算都是在指標表已經(jīng)給了的情況下進行的。沒有指標表怎么辦呢？如何求某個數(shù)指標（離散對數(shù)）？
更準確地說，給出g,?a,?p，如何求gk?≡?a(mod?p)的最小的k？為了簡化問題，這里規(guī)定p為質(zhì)數(shù)。
這里使用一種叫做大步小步（gaint-step?baby-step）的算法。算法的核心思想是分塊。取m?= [ sqrt(p?– 1) ] + 1，然后把k表示成xm?+?y?(0 ≤?y?<?m)的形式。這樣，x和y的范圍都是0~m（y不含m）。于是gk?≡ (gm)x?×?gy，可以求出所有的gy（m個取值）；然后枚舉x，計算出(gm)x，查找：是否存在某個gy滿足(gm)x?×?gy?≡?a(mod?p)？也就是說：
是否存在某個gy，滿足gy?≡?a?× (gmx)?–1?(mod?p)？
用費馬小定理和快速冪求出逆元(gmx)?–1，然后求出a?× (gmx)?–1。檢查是否有“匹配”的gy。如果我們先把gy放在一個哈希表（或者C++的map）中，那么這一步的查詢就是O(1)（或O(log2m)=O(log2p)）的。算法的核心步驟仍然是枚舉，但分塊使時間復雜度變成O(sqrt(P) × log2P)（注意算上求逆元的時間）。
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四、N次剩余
這里要解決一個這樣的問題：
給出N,?a,?p，求滿足xN?≡?a?(mod?p)（p為質(zhì)數(shù)）的所有解x。
可以形象地理解成求a在模p意義下的N次方根。
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剛才我們已經(jīng)借助例子，初步了解了做法：
xN?≡?a?(mod?p)，找出p的一個原根g，用“大步小步”算法求出以g為底a模p的指標I(a)。
同余式變成：
N?×?I(x) ≡?a?(mod?p?– 1)
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由一次同余方程的知識可以知道，有解的條件是
gcd(N,?p?– 1) |?a
而且，解有gcd(N,?p?– 1)個。
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解出所有的可能的I(x)，那么x?=?gI(x)。這些x中重復的要去掉。
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代碼：
| #include ?<cstdio> #include ?<cstring> #include ?<algorithm> #include ?<cmath> #include ?<vector> #include ?<map> using ?namespace std; ? typedef ?long long LL; ? int ?gcd(int a, int b) { ? return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } ? void ?_gcd(int a, int b, LL &x, LL &y) { ? if (b == 0) ? { ? ? ? x = 1; y = 0; ? ? ? return ; ? } ? _gcd(b, a%b, y, x); ? y -= (a/b) * x; } ? int ?extend_gcd(int a, int b, int c, LL &x, LL &y, int &dx, int ?&dy) { ? int g = gcd(a, b); ? if (c % g) return 0; ? _gcd(a, b, x, y); ? x *= (c/g); ? y *= (c/g); ? dx = b / g; ? dy = a / g; ? return g; } ? // Ax ?= B (mod N) //?設Ax = ?-yN + B //?則Ax + ?Ny = B bool ?line_mod_equ(int A, int B, int N, int &x, int &k) { ? LL x0, y0; ? int dx, dy; ? if (!extend_gcd(A, N, B, x0, y0, dx, dy)) ?return false; ? x0 %= dx; ? if (x0 < 0) x0 += dx; ? x = (int)x0; ? k = dx; ? return true; } ? LL ?pow_mod(LL a, LL b, LL p) { ? if (b == 0) return 1; ? LL tmp = pow_mod(a, (b>>1), p); ? if (b & 1) return tmp * tmp % p * a % ?p; ? ? ? else return tmp * tmp % p; } ? //分解質(zhì)因數(shù) void ?factor(int x, vector<int> &divs) { ? divs.clear(); ? for (int i = 2; i * i <= x; ++ i) ? ? ? if (x % i == 0) ? ? ? { ? ? ? ? ?divs.push_back(i); ? ? ? ? ?while (x % i == 0) x /= i; ? ? ? } ? if (x > 1) divs.push_back(x); } ? bool ?g_test(int g, vector<int> &divs, int P) { ? for (int i = 0; i < (int) divs.size(); ?++ i) ? ? ? if (pow_mod(g, (P-1) / divs[i], P) == ?1) return false; ? return true; } ? //找原根，p為質(zhì)數(shù)，保證有原根 int ?primitive_root(int P) { ? static vector<int> divs; ? factor(P-1, divs); ? int g = 1; ? while (!g_test(g, divs, P)) ++ g; ? return g; } ? //?求解在模P意義下，以a為底N的離散對數(shù)b (P為質(zhì)數(shù)) //?即?a ^ b ?= N (mod P) //?大步小步算法（分塊） //?取s = ?sqrt(P),?設b = x * s + y //?則?a ^ ?(x*s + y) = (a^s)^x * a^y = N (mod P) //?求出y = ?0~s-1時，?a^y的取值；然后枚舉s，算出(a^s)^x，查找是否有匹配的y int ?discrete_log(int a, int N, int P) { ? map<int, int> rec; ? int s = (int)sqrt(P + 0.5); ? while (s * s <= P) ++ s; ? LL cur = 1; ? for (int y = 0; y < s; ++ y) ? { ? ? ? rec[ cur ] = y; ? ? ? cur = cur * a % P; ? } ? LL a_s = cur; // a^s ? cur = 1; ? for (int x = 0; x < s; ++ x) ? { ? ? ? LL a_y = pow_mod(cur, P-2, P) * LL(N) % ?P; ? ? ? map<int,int> :: iterator it = ?rec.find( a_y ); ? ? ? if (it != rec.end()) return x * s + it ?-> second; ? ? ? cur = cur * a_s % P; ? } ? return -1; } ? // x ^ ?K = A (mod P) (where P is a prime) //?找p的一個原根g，求出指標 // K ?I(x) = I(A) (mod P-1) //?有解的條件?gcd( ?I(x), P-1 ) | I(A) void ?discrete_root(int K, int A, int P, vector<int> &x) { ? x.clear(); ? if (A == 0) { x.push_back(0); return ; } ? int g = primitive_root(P); ? int IA = discrete_log(g, A, P); ? int Ix, delta; ? if (!line_mod_equ(K, IA, P-1, Ix, delta)) ?return ; ? while (Ix < P) ? { ? ? ? x.push_back( pow_mod(g, Ix, P) ); ? ? ? Ix += delta; ? } ? sort(x.begin(), x.end()); ? x.erase(unique(x.begin(), x.end()), ?x.end()); } ? int ?main() { ? int P, K, A; ? scanf("%d%d%d", &P, &K, ?&A); ? static vector<int> x; ? discrete_root(K, A, P, x); ? printf("%u\n", x.size()); ? for (int i = 0; i < (int) x.size(); ++ ?i) printf("%d\n", x[i]); ? return 0; } ? |
2016-09-06?20:59:38
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的【转】初等数论 ——原根、指标及其应用的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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