一個(gè)電子遍歷宇宙，幾張神圖巧算場(chǎng)論。

圖1：費(fèi)曼圖

大戰(zhàn)后有關(guān)量子場(chǎng)論的3次重要會(huì)議，都是由美國理論物理學(xué)家奧本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）主持的，這3場(chǎng)會(huì)議主要討論量子電動(dòng)力學(xué)。

在公眾眼里，奧本海默以在1942年到1945年期間領(lǐng)導(dǎo)曼哈頓計(jì)劃（Manhattan Project）著稱，實(shí)際上他也是一位做出多項(xiàng)接近諾貝爾獎(jiǎng)級(jí)別成果的著名物理學(xué)家，他在性情和人格方面頗具特色與魅力。

奧本海默，圖片來源：Wikipedia

奧本海默出生于紐約一個(gè)富裕的猶太人家庭。父親是德國移民，從事紡織品進(jìn)口生意；母親是一名畫家。第二次世界大戰(zhàn)后，曼哈頓計(jì)劃被公諸于世，奧本海默也在全美國成為了科學(xué)的代言人。1947年他出任普林斯頓高等研究院的院長(zhǎng)，之后他云集了一大批各個(gè)領(lǐng)域的尖端人才。理論物理方面，包括幾位在當(dāng)時(shí)還非常年輕的物理學(xué)家：楊振寧、李政道以及后來的弗里曼·戴森（Freeman Dyson，1923 -2020）等。受奧本海默邀請(qǐng)到高等研究院做研究的，還有筆者在奧斯丁大學(xué)讀博時(shí)的導(dǎo)師塞西爾·莫雷特（Cecile Morette，1922-2017），以及她后來的丈夫布賴斯·德威特（Bryce DeWitt，1951–2004）。可以想象，當(dāng)年奧本海默邀請(qǐng)的女學(xué)者不會(huì)太多，塞西爾是其中一個(gè)，這使筆者引以為傲。

奧本海默主持的第一次場(chǎng)論會(huì)議是1947年的謝爾特島會(huì)議，第二次是波科諾會(huì)議。

波科諾（Pocono）會(huì)議

這是1948年4月在美國賓夕法尼亞州波科諾山的一個(gè)莊園度假酒店舉行的會(huì)議，有28位精英物理學(xué)家參加，對(duì)比謝爾特島會(huì)議，有增有減，增加的比較重要的人物是玻爾（Niels Henrik David Bohr，1885-1962）和狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902 -1984），其余人中，無與倫比的費(fèi)曼（Richard Feynman ，1918-1988）和天才的施溫格（Julian Schwinger，1918-1994）仍然在場(chǎng)，應(yīng)該是這次會(huì)議的主角。

歷史地看，此次會(huì)議見證了一個(gè)量子物理領(lǐng)域開創(chuàng)性的時(shí)刻——著名的“費(fèi)曼圖”（Feynman Diagram）首次公開亮相。但實(shí)際上，當(dāng)時(shí)的費(fèi)曼遠(yuǎn)不如施溫格風(fēng)光，費(fèi)曼圖并沒有受到熱烈歡迎。

那天，從哈佛來的施溫格堪稱年輕的英雄，會(huì)上表現(xiàn)引人入勝：他用幾乎一整天的時(shí)間詳細(xì)解釋了他的正則量子場(chǎng)論及重整化數(shù)學(xué)方法。盡管不是人人都喜歡繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，但那是與會(huì)的大多數(shù)物理學(xué)家們熟悉的拿手好戲。不僅如此，施溫格高超的數(shù)學(xué)技巧和雄辯的口才也讓在場(chǎng)人士心服口服。

等到費(fèi)曼的演講真正開始時(shí)，就人們的心理狀態(tài)而言：一天已經(jīng)結(jié)束了！所以，費(fèi)曼的演講顯得匆匆忙忙。他畫圖解釋QED（量子電動(dòng)力學(xué)）的一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例，卻經(jīng)常被打擾：玻爾以為它們違反了泡利的不相容原理（Pauli‘s exclusion principle），起身走近黑板，發(fā)表了有關(guān)泡利原理的長(zhǎng)篇演講；狄拉克則反復(fù)提出他所謂的歸一化問題，即根據(jù)費(fèi)曼系統(tǒng)計(jì)算出的概率是否加起來等于1。總之，聽眾中似乎沒有人弄懂了這些看上去莫名其妙的線條圖。

雖然這次會(huì)議之后不到一年的時(shí)間內(nèi)，大家就認(rèn)識(shí)到了費(fèi)曼圖的優(yōu)越性，但當(dāng)時(shí)費(fèi)曼會(huì)上的演講的確沒有得到應(yīng)有的關(guān)注。即使是費(fèi)曼在康奈爾的好朋友貝特（Hans Bethe，1906-2005），也不明白費(fèi)曼的演講。

在費(fèi)曼那些奇怪的圖形中，甚至包括在時(shí)間上往回走的電子路線。費(fèi)曼在1964年他的諾貝爾演說中也提到這個(gè)貌似“瘋狂”的想法，說是從他的老師惠勒（John Archibald Wheeler，1911 -2008）那兒“偷來”的。

1965年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，頒發(fā)給了費(fèi)曼、施溫格以及日本的朝永振一郎（Sinitiro Tomonaga，1906-1979）三人。三人中除了費(fèi)曼外，其余兩人解決問題的思路大同小異，實(shí)際上可說是前輩物理學(xué)家們思路的延續(xù)。而費(fèi)曼的想法獨(dú)一無二、別具一格，對(duì)其稍加探索，可以給后人做學(xué)問以啟迪。

單電子宇宙

1940年秋的一天，費(fèi)曼在普林斯頓大學(xué)研究生宿舍里，接到他的博士導(dǎo)師約翰·惠勒打來的電話：

惠勒：“費(fèi)曼，我知道為什么所有的電子都有相同的電荷和相同的質(zhì)量。”

費(fèi)曼：“為什么？”

惠勒：“原因是它們都是同一個(gè)電子！”

圖2：?jiǎn)坞娮佑钪?/p>

惠勒半玩笑半認(rèn)真地解釋了他的想法：宇宙中所有的電子可能是唯一一個(gè)電子的世界線在整個(gè)宇宙里復(fù)雜循環(huán)所形成的。因此，我們看到的電子都是一模一樣的，因?yàn)樗鼈儗?shí)際上就是一個(gè)電子。如果我們截取整個(gè)宇宙的任一時(shí)刻，一半電子的世界線會(huì)在時(shí)間中向未來行進(jìn)，另一半會(huì)在時(shí)間中向過去行進(jìn)。惠勒說，在時(shí)間上往回運(yùn)動(dòng)，即由將來返回到過去，實(shí)際上就相當(dāng)于一個(gè)時(shí)間上向前的電子的反物質(zhì)——正電子。

費(fèi)曼被惠勒瘋狂的想法震驚，提出一個(gè)顯然的疑問：“如果那樣的話，電子和正電子的數(shù)目應(yīng)該一樣多啊。但我們實(shí)際觀測(cè)到的電子應(yīng)該要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于正電子不是嗎？在理論上也是這么認(rèn)為的。”對(duì)此，惠勒推測(cè)說：“可能有未被觀測(cè)到的正電子隱藏在質(zhì)子中。”

如今，已經(jīng)沒有必要評(píng)論這個(gè)無法想象的單電子宇宙圖景正確與否，但它具有哲學(xué)意義的思維方法啟發(fā)了費(fèi)曼，特別是將反粒子看作時(shí)間上“逆行”的正粒子這個(gè)圖像，深深地印在了費(fèi)曼的腦海中。費(fèi)曼在1949年發(fā)表的《正電子理論》論文中正式提出“正電子是電子在時(shí)間中逆行”的說法。后來南部陽一郎（Yoichiro Nambu，1921-2015）把這個(gè)想法擴(kuò)展到正反物質(zhì)對(duì)的產(chǎn)生與湮滅，認(rèn)為真空中不斷發(fā)生的正反物質(zhì)對(duì)的創(chuàng)生與湮滅，實(shí)際上是粒子在時(shí)間這一維度上運(yùn)動(dòng)方向的改變。

圖3：從單電子世界到費(fèi)曼圖

量子力學(xué)中，電子是沒有“軌道”概念的，但是為了理解惠勒與費(fèi)曼討論的“單電子”圖景，不妨假想一個(gè)電子在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)軌跡，是如圖3（左圖）所示的紅色折線。當(dāng)折線上的箭頭所指是時(shí)間正方向時(shí)的線段就代表電子，反之則代表正電子。我們?cè)龠M(jìn)一步想下去：電子為什么會(huì)突然轉(zhuǎn)回頭變成正電子了呢？一定是與某種東西相互作用了，這樣才能滿足能量守恒和動(dòng)量守恒。

如果將考慮的范圍限制在QED中的話，那就沒有別的東西，只有與光子作用的可能性了。也就是說，QED中電子、正電子與光子，可以用圖3（右圖）中的右上角的符號(hào)來表示，紅色為電子、深藍(lán)色為光子、藍(lán)綠色為正電子；而右下方三者于中心頂點(diǎn)交匯的“圖”，則表示了它們之間的相互作用，這也算是一個(gè)最簡(jiǎn)單的費(fèi)曼圖。

必須注意，費(fèi)曼圖描述的并不是電子、正電子運(yùn)動(dòng)的嚴(yán)格幾何軌跡，可以看作一種“拓?fù)洹苯Y(jié)構(gòu)。例如，圖3（右下圖）是正負(fù)電子對(duì)湮滅而產(chǎn)生光子的過程。總之，費(fèi)曼的圖像能幫助我們對(duì)場(chǎng)論中的相互作用進(jìn)行直觀的形象思維。更重要的是，費(fèi)曼圖簡(jiǎn)化了場(chǎng)論中的計(jì)算。在圖3以及之后的圖中，我們都用垂直向上表示時(shí)間增加，水平方向代表空間。

從經(jīng)典力學(xué)到量子場(chǎng)論

費(fèi)曼一直想把中學(xué)時(shí)代震驚他心靈的“最小作用量原理”應(yīng)用于解決量子力學(xué)問題。回顧物理學(xué)的歷史，無論是牛頓力學(xué)，還是電磁理論，都可以有多種等效的表達(dá)方式，其中也包括了用作用量的方式來描述物理規(guī)律。量子力學(xué)也是這樣，薛定諤方程（Schr?dinger equation）和海森堡的矩陣力學(xué)（matrix mechanics）是等效的。因此，費(fèi)曼在潛意識(shí)中相信他將作用量原理用于量子問題的想法是能夠成功的。然而，他卻一直苦于找不到量子力學(xué)中作用量的正確表達(dá)式，直到一位歐洲學(xué)者介紹他看了狄拉克的文章，才幫助費(fèi)曼將最小作用量原理成功地用于量子而發(fā)明了路徑積分（path integral）。

量子力學(xué)路徑積分描述方法的優(yōu)越性，在于它能很方便地向經(jīng)典物理過渡。在經(jīng)典物理中，如果用最小作用量原理描述粒子從時(shí)空點(diǎn)A到時(shí)空點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，是沿著A到B的單一軌道積分，如圖4a；而在量子力學(xué)中，是沿著粒子能從A走到B的每一條可能的路徑，即每一種可能的“歷史路徑”進(jìn)行積分，圖4b。量子力學(xué)中電子從A到B的總概率幅等于所有路徑的概率幅相加。如果使用微擾論作近似計(jì)算的話，可以僅僅考慮經(jīng)典路徑及其周圍的路徑，忽略其它的。由此可以清楚地看出經(jīng)典與量子的關(guān)系。

對(duì)量子場(chǎng)論而言，應(yīng)該說，是沿著系統(tǒng)的所有“狀態(tài)路徑”求積分。這里的“狀態(tài)路徑”，就是一個(gè)一個(gè)的費(fèi)曼圖。如何理解這點(diǎn)？請(qǐng)看圖4c。

圖4：最小作用量原理（從經(jīng)典力學(xué)到量子場(chǎng)論）

量子力學(xué)描述的是單個(gè)粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)的概率；量子場(chǎng)論描述的是（多粒子）系統(tǒng)從輸入狀態(tài)A到輸出狀態(tài)B轉(zhuǎn)換的概率。例如，考慮兩個(gè)電子散射的問題。如果把電子當(dāng)作經(jīng)典粒子，兩個(gè)電子在庫侖力的作用下互相排斥而散射，如圖4c中左上圖。4c的右上圖是從量子場(chǎng)論的角度看待這個(gè)散射問題：輸入態(tài)A到輸出態(tài)B，兩個(gè)電子到兩個(gè)電子，有無限多種轉(zhuǎn)換方式。因此，在圖中我們將其中間過程用一團(tuán)未知的云霧來表示。

費(fèi)曼圖是解釋這團(tuán)云霧的一種方法。費(fèi)曼根據(jù)電子和光子相互作用的程度來分解這團(tuán)云霧，如圖4c下圖所示：首先考慮兩個(gè)電子散射的最簡(jiǎn)單情況（等號(hào)后的第一圖），其中一個(gè)電子將發(fā)射一個(gè)虛擬光子，該光子將被另一個(gè)電子吸收。這個(gè)費(fèi)曼圖描述的是兩個(gè)頂點(diǎn)的情況，圖中頂點(diǎn)數(shù)的多少?zèng)Q定了該費(fèi)曼圖對(duì)散射截面（總概率幅）的貢獻(xiàn)，頂點(diǎn)數(shù)越多貢獻(xiàn)就越小（成指數(shù)減小）。

QED中只考慮電子場(chǎng)和光子場(chǎng)，兩種場(chǎng)之間的所有相互作用，可以用與圖20-3右下方所示的、轉(zhuǎn)動(dòng)不同的角度而得到的類似的6種頂點(diǎn)圖來描述。不同數(shù)目的各種頂點(diǎn)圖之組合，可以構(gòu)成無窮多種費(fèi)曼圖。例如對(duì)上述的兩個(gè)電子散射而言，實(shí)際情況中，電子可以以多種方式散射，以多種復(fù)雜的方式交換光子：電子之間可以不止一次地交換光子；電子在飛行中還可能分解成虛擬的電子-正電子對(duì)，進(jìn)而湮滅以形成新的光子；費(fèi)曼圖中還可以包括各種各樣的圈圖等等。

費(fèi)曼圖對(duì)總概率幅的貢獻(xiàn)隨著圖的復(fù)雜程度的增加而減小。也就是說，最簡(jiǎn)單的圖貢獻(xiàn)越大。所以，往往考慮少量幾個(gè)頂點(diǎn)少的低階圖，便能夠得到不錯(cuò)的結(jié)果。這個(gè)原則使得根據(jù)簡(jiǎn)單的幾個(gè)費(fèi)曼圖進(jìn)行計(jì)算，便能成為現(xiàn)實(shí)（實(shí)驗(yàn)）的良好近似。

費(fèi)曼和費(fèi)曼規(guī)則

當(dāng)然，費(fèi)曼圖是物理界的珍貴資產(chǎn)，不僅僅是因?yàn)樗鼈兛雌饋砗?jiǎn)單、直觀又有趣，而是因?yàn)橥ㄟ^它們，能夠跟蹤一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的積分方程的所有元素。它們不僅能幫助我們通過想象來研究無法看到的世界，實(shí)際上還是一個(gè)強(qiáng)大的計(jì)算工具。為了達(dá)到計(jì)算的目的，費(fèi)曼圖有一系列簡(jiǎn)單的規(guī)則，來對(duì)應(yīng)和跟蹤積分中的所有數(shù)學(xué)術(shù)語，它叫做費(fèi)曼規(guī)則。

圖5：費(fèi)曼規(guī)則

費(fèi)曼將簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式對(duì)應(yīng)到每個(gè)圖，代表圖中過程發(fā)生的可能性。利用圖5右表中圖元素與算符的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不難將圖5左下方的費(fèi)曼圖，對(duì)應(yīng)于左上方的數(shù)學(xué)公式。按照類似的對(duì)應(yīng)方法，再復(fù)雜的圖也都可以寫出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)公式，然后再進(jìn)行積分運(yùn)算，便能得出相應(yīng)的概率幅。

綜上，從最初的思維方式，到隨后與經(jīng)典力學(xué)的對(duì)比、進(jìn)化，再到數(shù)學(xué)層面的計(jì)算規(guī)則，費(fèi)曼圖的優(yōu)越性與意義可見一斑。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的你知道物理学家也有天书吗？各种顶点和连线的那种的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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