從1到n整數中1出現的次數

題目描述

求出1~13的整數中1出現的次數,并算出100~1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對于后面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,并把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數。 解決思路?

　　1、常規思路（暴力解決），一個數一個數的計數

　　2、尋找數學規律

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　　1、暴力循環計數

代碼如下：

1 public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { 2 int count = 0; 3 for(int i=0; i<=n; i++){ 4 int temp = i; 5 //如果temp的任意位為1則count++ 6 while(temp!=0){ 7 if(temp%10 == 1){ 8 count++; 9 } 10 temp /= 10; 11 } 12 } 13 return count; 14 }

　　2、尋找數學規律

　　

　　這里的 X∈[1,9]，因為 X=0 不符合下列規律，需要單獨計算。

　　首先要知道以下的規律：

• 從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 X 都出現了 1 次。
• 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 X 都出現了 10 次。
• 從 1 至 1000，在它們的百位數中，任意的 X 都出現了 100 次。
• …
• 依此類推，從 1 至 10i，在它們的左數第二位（右數第 i 位）中，任意的 X 都出現了 10i?1 次。

　　這個規律很容易驗證，這里不再多做說明。

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接下來以 n=2593,X=5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593 中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259 次出現在個位，260 次出現在十位，294 次出現在百位，0 次出現在千位。

• 現在依次分析這些數據，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 X 都出現了 259 次。最后剩余的三個數 2591, 2592 和 2593，因為它們最大的個位數字 3 < X，因此不會包含任何 5。（也可以這么看，3< X，則個位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等于更高位數字（259）X101-1=259）。

• 然后是十位。從 1 至 2500 中，包含了 25 個 100，因此任意的 X 都出現了 25×10=250 次。剩下的數字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數字 9 > X，因此會包含全部 10 個 5。最后總計 250 + 10 = 260。（也可以這么看，9>X，則十位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等于更高位數字（25+1）X102-1=260）。

• 接下來是百位。從 1 至 2000 中，包含了 2 個 1000，因此任意的 X 都出現了 2×100=200 次。剩下的數字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數字 5 == X，這時情況就略微復雜，它們的百位肯定是包含 5 的，但不會包含全部 100 個。如果把百位是 5 的數字列出來，是從 2500 至 2593，數字的個數與百位和十位數字相關，是 93+1 = 94。最后總計 200 + 94 = 294。（也可以這么看，5==X，則百位上可能出現X的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，等于更高位數字（2）X103-1+（93+1）=294）。

• 最后是千位。現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < X，所以不會包含任何 5。（也可以這么看，2< X，則千位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等于更高位數字（0）X104-1=0）。

到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。

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總結一下以上的算法，可以看到，當計算右數第 i 位包含的 X 的個數時：

取第 i 位左邊（高位）的數字，乘以 10i?1，得到基礎值 a。

取第 i 位數字，計算修正值：?

如果大于 X，則結果為 a+10i?1。

如果小于 X，則結果為 a。

如果等 X，則取第 i 位右邊（低位）數字，設為 b，最后結果為 a+b+1。

　　相應的代碼非常簡單，效率也非常高，時間復雜度只有O(log10n)。

1 public class Solution { 2 public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { 3 int count = 0; 4 for(int i = 1;i <= n;i *= 10){ 5 int a = n/i; 6 int b = n%i; 7 //之所以補8，是因為當百位為0，則a/10==(a+8)/10， 8 //當百位>=2，補8會產生進位位，效果等同于(a/10+1) 9 count += (a+8)/10*i+((a%10 ==1)?b+1:0); 10 } 11 return count; 12 } 13 }

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posted on 2017-04-22 16:00 粽子丫丫 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的从1到n整数中1出现的次数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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