一维随机变量及其概率分布
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1. 隨機變量的概念
顧名思義，隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量。隨機變量的反面是“確定性變量”，即其值遵循某種嚴格的規律的變量，比如從北京到上海的距離。但是從絕對意義上講，許多通常視為確定性變量的量，本質上都有隨機性，只是由于隨機性干擾不大，以至在所要求的精度之內，不妨把經作為確定性變量來處理。
根據隨機變量其可能取的值的全體的性質，可以把隨機變量分為2大類，一類是離散型隨機變量，比如檢驗100件產品中的次品個數；一類是連續型隨機變量，比如一個燈泡的壽命。但是連續型變量這個概念只是數學上的抽象，因為任何量都有單位，都只能在該單位下量到一定的精度，所以也一定是離散的，比如燈泡的壽命如果只精確到秒，那它的壽命也是可以離散表示的。
研究隨機變量的根本原因是，我們需要研究一些事物身上表現出來的會變動的因子，這些因子的值隨機而定，但可能存在某種規律（比如總是取到某些特殊的值），我們需要研究這些規律（比如分布規律），而對這些因子做預測。
2. 離散型隨機變量的分布
我們研究隨機變量，并不是只關心它能取到哪些值，往往也關心的是它取到某些值的頻率如何，即取到該值的概率。這個特性，我們稱之為分布。
定義2.1
設X為離散型隨機變量，其全部的可能值為{a1,a2,…}，則
pi=P(X=ai),i=1,2,…
稱為X的概率函數。且有下面的性質：
pi?0,p1+p2+?=1
X的概率函數給出了：全部概率1是如何在其可能的值之間分配的，所以也把它稱為隨機變量X的“概率分布”。 因為離散型的隨機變量的概率分布通常以一個表的形式給出，所以有時把它稱為X的分布表。
可能值概率a1p1a2p2……aipi……
定義2.2
設X為一隨機變量，則函數
P(X≤x)=F(x),?∞<x<∞
稱為X的分布函數。
對離散型隨機變量而言，概率函數與分布函數在下述意義下是等價的。
F(x)=P(X≤x)=∑{i:ai≤x}pi
由pi求F(x)是顯然的，而由F(x)求pi，只需注意：
F(i)=P(X≤i)=P(X≤i?1)+P(X=i)
對于任何隨機變量X，其分布函數F(x)具有下面的一般性質：
1）F(x)是單降非降的：當(x1<x2)時，有F(x1)≤F(x2)；
2）當x→∞時，F(x)→1；當x→–∞時，F(x)→0；
研究分布函數的直接原因是可以根據分布函數求概率，另一個原因我覺得是針對于連續型隨機變量，因為它研究取某個值的概率沒有意義，所以更多的關心的一個范圍，比哪燈光壽命1萬小時-1.2萬小時的可能性大小，像這樣范圍內的概率用分布函數更容易求得。
3. 幾個常見的離散型分布
3.1. 二項分布
某事件A在一次試驗中發生的概率為p。現在把這個試驗獨立重復n次，以X記A在這n次試驗中發生的次數，則n可能的取值為0,1,…,n，我們稱隨機變量X服從二項分布，記為：X～B(n,p)，同時這種試驗稱為伯努利試驗。
pi=b(i;n,p)=(ni)pi(1?p)n?i,i=0,1,…,n
X=k表示n次試驗中，事件A恰好發生了k次，那么一共有(nk)種途徑，而且每種途徑發生的概率都為pk(1?p)n?k（加法公式）。
在研究連續型隨機變量分布后，我們發現二項分布概率分布與高斯分布密度函數曲線一致。
3.2. 泊松分布
若隨機變量X可能的取值為0,1,2,…，且概率分布為
P(X=i)=e?λλi/i!
則稱X服從泊松分布，記為X～P(λ)，此處λ>0是一常數。
Poisson分布是用來描述稀有事件的概率的，比如：一定時間內紅綠燈口發生事故的次數和總機接到電話的次數。
Poisson分布實際上是在n很大，p很小時，二項分布的一個近似：
當p很小時，(1?p)～e?p[泰勒展開，取前2項]，所以(1?p)n?k～e?p(n?k)～e?pn=e?λ
當n很大時，bn,k=n(n?1)…(n?k+1)k!pk(1?p)n?k≈nkpkk!(1?p)n?k=λkk!e?λ
3.3. 超幾何分布
設有N個產品，其中有M個不合格品，若從中不放回地隨機抽取n個，則其中含有的不合格品的個數X服從超幾何分布，記為X～h(n,N,M)，超幾何分布的概率分布列為：
P(X=k)=(Mk)(N?Mn?k)(Nn),k=0,1,…,r
其中r=min{M,n}，且M≤N,n≤N,n,N,M均為正整數
當n?N時，即抽取個數n遠小于產品總數N時，每次抽取后體中的不合格率p=M/N改變甚微，所以不放回抽樣，可以近似地看成回抽樣，這里超幾何分布可以用二項分布近似。
(Mk)(N?Mn?k)(Nn)?(nk)pk(1?p)n?k，其中p=MN
3.4. 幾何分布
在伯努利試驗序列中，記每次試驗中事件A發生的概率為p，如果X為事件A首次出現時的試驗次數，則X可能取值為1,2,…，稱X服從幾何分布，記為X～Ge(p)，其分布列為：
P(X=k)=(1?p)k?1p,k=1,2,…
幾何分布的無記憶性：設X～Ge(p)，則對任意正整數m與n有
P(X>m+n|X>m)=P(X>n)
上面這個公式表明在一系列的事件中，若前m次實驗中事件A沒有出現，則接下來的n次試驗中A仍未出現的概率只與n有關，似乎忘記了前m次試驗結果。
3.5. 負二項分布
在伯努利試驗序列中，記每次試驗中事件A發生的概率為p，如果X為事件A第r次出現時的試驗次數，則X可能的取值為r,r+1,…,r+m,…，稱X服從負二項分布或巴斯卡分布，記為X～Nb(r,p)，概率分布為：
P(X=k)=(k?1r?1)pr(1?p)k?r,k=r,r+1,…
4. 連續型隨機變量分布
對于連續型變量的概率分布，不能用像離散型變量那種方法去描述。原因在于，這種變量的取值充滿一個區間，無法一一排出。若指定一個值a，則變量X恰好是a一絲不差，事實上不可能，即，對于連續型隨機變量X而言，在區間內任意一點的概率P(X=xi)=0，但是你要注意雖然概率為0，但是并不是說事件X=xi是不可能事件。
刻畫連續型隨機變量的概率分布的一個方法是利用概率分布函數，但是在理論和實用上更方便因則更常用的方法，是使用所謂“概率密度函數”或簡稱密度函數。
定義4.1
設連續性隨機變量X有概率分布函數F(x)，則F(x)的層數f(x)=F′(x),稱為X的概率密度函數。
連續型隨機變量X的密度函數f(x)都具有以下三條基本性質：
1）f(x)≥0
2）∫∞?∞f(x)dx=1
3）對任何常數a<b有P(a≤X≤b)=F(b)?F(a)=∫ba(x)dx
4.1. 正態分布
由中心極限定理可知：
一個變量如果是由大量微小的、獨立的隨機因素的疊加結果，那么這個變量一定是正態變量。因此很多隨機變量可以用正態分布描述或近似描述，譬如測量誤差、產品重量、人的身高、年降雨量等。
若隨機變量X的密度函數為
p(x)=12π√σe?(x?μ)22σ2,?∞<x<+∞
稱X服從正態分布或高斯分布。
當μ=1,σ2=1時，上面的概率密度函數變為
f(x)=e?x2/2/2π??√
它是正態分布N(0,1)的密度函數。同時被稱為標準正態分布，其密度函數與分布函數通常分別被記為φ(x)和Φ(x)。標準正態分布很重要，因為任意的正態分布N(μ,σ2)的計算很容易轉化為標準正態分布N(0,1)。
若X～N(μ,σ2)，則Y=(X?μ)/σ～N(0,1)
4.2. 均勻分布
若隨機變量X的密度函數為
p(x)={1b?a,0,a<x<b;其他。
則稱X服從區間(a,b)上的均勻分布，記作X～U(a,b)
4.3. 指數分布
若隨機變量X的密度函數為
p(x)={λe?λx,0,x≥0;x<0。
則稱X服從指數分布，記作X～Exp(λ)
下圖顯示了指數分布當λ=1（虛線）和λ=2（實線）時的曲線圖。f(x)在x=0處不連續。
因為指數分布隨機變量只可能取非負實數，所以指數分布被用作各種“壽命”分布，譬如電子元件的壽命，動物的壽命等。
P(x≤X≤x+h)|X>x)/h=λ,h→0
上式表明，如果元件在x時尚表現正常，則的X>x時間內失效率為一個常數λ，也就是說元件在任意時刻突然失效的概率跟它使用了多久沒有關系，只與失效率lambda有關。根據后面期望計算得到λ?1就是平均壽命。
指數分布描述的是一種無老化的壽命分布，在實際中是不可能的，因而只是一種近似。對一種元器件在使用初期老化現象很小，所以在這個階段指數分布描述了其壽命分布情況。而人在50或60歲之前，生理老化而死亡的因素是次要的。排除那些意外情況，人的壽命在這個階段也是接近指數分布的。
4.4. 威布爾分布
指數分布在壽命問題上忽略了老化問題，如果我們需要考慮老化問題，則顯然失效率真應該隨時間而上升，不能為常數，比如取為一個x的增函數：λxm，那假若分布函數為F(x)，則有F′(x)/[1?F(x)]=λxm，結合F(0)=0，得出：
F(x)=1?e?(λ/m+1)xm+1
取α=m+1(α>1)，并把λ/(m+1)記為λ，得到：
F(x)=1?e?λxα,x>0
概率密度函數為：
f(x)={λαxα?1e?λxα,0,x>0;x≤0。
實際上指數分布是威布爾分布當α=1時的特例。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的一维随机变量及其概率分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
