約瑟夫問題簡介

據說著名猶太歷史學家Josephus有過以下的故事：在羅馬人占領喬塔帕特后，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧愿死也不要被敵人到，于是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人 開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然后再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵從，Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，于是逃過了這場死亡游戲。

約瑟夫問題算法分析

明顯只要找到剩余最后兩個位置，就可以逃脫。因此該題就是求解自殺順序。

解法1：循環鏈表

根據問題很容易聯想到循環鏈表。它的時間復雜度也很容易分析：每查找3次要有一人自殺，一共41人，就要查找41次。時間復雜度O(m*n)。(剛開始學JavaScript，就用js來寫代碼了)

function NodeData(i) {this.data = i;this.next = null; }function createList(n) {var fnode = new NodeData(1);var beginNode = fnode;for (let i = n; i > 1; i--) {let node = new NodeData(i);node.next = fnode;fnode = node;}beginNode.next = fnode;return beginNode; }function josephus(nodeList, n, m) {var currentNode = new NodeData(0);currentNode.next = nodeList;var node = currentNode.next;var indexArray = [];while(indexArray.length < n-1) {for (let i = 1; i < m; i++) {node = node.next;currentNode = currentNode.next; }indexArray.push(node.data);currentNode.next = node.next;node.next = null;node = currentNode.next;}indexArray.push(node.data);return [node.data, indexArray]; } 復制代碼

解法2：根據規律推到公式

當有5個人，找第三個時：n=5，m=3

0 1 2 3 4

第一輪刪除index=3的人，剩4個人時順序：

3 4 0 1

按照這個順序繼續往下刪index=3的人，直到剩余一人。

此時看下n=4，m=3時，人的排序：

0 1 2 3

此時看下2和3行，他們都只有4個人，那此后要刪除的人的順序也就是index是完全相同，完全相互對應的。因此剩余的最后一個人也是相互對應的。再看下每組相互對應的數據之間的關系：

x -> (x+m) mod (n+1)

如：2->(（2+3）% (4+1) = 0 )。這下就可以得出：求解 m個人時最后一個被殺的人的結果同求解m-1個人時最后一個被殺的人的結果的關系是：

f(n) = (f(n-1) + m) mod n

因此，知道了n-1的結果就可以求n的結果了。用代碼實現：

function josephus(n, m) {var lastResult = 0; // 1個人時for(let i = 2; i <= n; i++) {lastResult = (lastResult + m) % i; // 當i個人時}return lastResult; } 復制代碼

注意：此種方式僅適用于index從0開始，且只能求解最后一個人。

時間復雜度O(n)，空間復雜度O(1)。

其余解法待補充。

轉載于:https://juejin.im/post/5bd179056fb9a05d0e2ea78e

總結

以上是生活随笔為你收集整理的约瑟夫问题-学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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