一般說來，數學和藝術是兩種非常不同的領域——前者致力于抽象思維，后者致力于感覺。但有時你會發現，這二者之間有著不可思議的相似之處。

　　從伊斯蘭的瓷磚到杰克遜·波洛克（Jackson Pollock，抽象主義繪畫大師）繪制的混亂圖形，我們可以看到藝術與隨之而來的數學研究之間有著怎樣驚人的相似性。盡管這兩種思維方式并不完全相同，但有趣的是，其中一種往往預示著另外一種。

　　藝術有時能促進數學發現嗎？這是一個沒有簡單答案的問題，但在某些情況下，這似乎是很有可能的。

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　　阿爾罕布拉宮的圖案

　　以在西班牙格拉納達的阿爾罕布拉發現的伊斯蘭裝飾為例。

　　在 14 和 15 世紀，阿爾罕布拉宮是柏柏爾君主的宮殿和后宮。對許多游客來說，這里是世界上最接近天堂的地方：它有著一系列帶有噴泉的露天庭院，周圍是能提供遮蔽和陰涼的拱廊。天花板被澆筑成像鐘乳石一樣的精致幾何圖案。最耀眼的是周圍墻壁上的彩色瓷磚裝飾，讓人眼花繚亂，帶來一種奇妙的喜悅感。就像音樂一樣，這些圖案能旁觀者體驗到一種近乎靈魂出竅的狀態，一種置身天堂般的狂喜。

阿爾罕布拉的瓷磚拼圖。 圖片來源：Wikipedia Commons

　　這是藝術和數學推理的勝利。這個裝飾物探索了數學的一個分支——密鋪，它指的是用規則的幾何圖案完全填充一個空間。數學表明，一個平面可以被具有三、四和六條邊的對稱圖形規律覆蓋，但不能被對稱的五邊形以這種形式覆蓋。

　　不過如果用三角形、正方形和六角形來組合成不同的形狀，也可以做到對整個空間的填充。阿爾罕布拉宮陶醉于這種精心設計的組合，這是一類很難被視為靜止而不是動態的圖案。它們似乎會在我們眼前旋轉，刺激我們的大腦行為，當我們看到它們的時候，我們會以不同的結構來重置它們的圖案。

　　這是一種情感體驗嗎？正是這樣。但是，這種伊斯蘭鑲嵌圖案的迷人之處就在于，這些通過無數能工巧匠打造的藝術作品顯示出了他們對數學邏輯的近乎完美的掌握。

　　數學家已經確定了 17 種對稱性，如左右對稱、旋轉對稱等等。在阿爾罕布拉宮的鑲嵌圖案作品中至少出現了 16 種對稱。

17 種平面對稱群。

　　這些圖案不僅漂亮，而且在數學上也很嚴謹。他們以一種驚人的完整方式探索了對稱的基本特征。然而，直到這些對稱的圖形在阿爾罕布拉宮中安放了幾個世紀之后，數學家才提出了他們對對稱原理的分析。

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　　準晶體圖案鑲嵌

　　盡管阿爾罕布拉宮的裝飾令人驚嘆，但波斯的一樣杰作或許可以超越它。1453 年，在伊斯法罕的達爾比伊瑪目神殿，一些無名工匠發現了準晶體結構。這些圖案具有復雜而神秘的數學性質，但直到 20 世紀 70 年代出現彭羅斯瓷磚，數學家們才開始對這些性質進行分析。

　　彭羅斯瓷磚是一種用規則的形狀以完全不會自我重復的結構對整個空間進行填充的鑲嵌圖樣。上世紀 80 年代，丹·謝赫特曼（Daniel Schectman）發現這種不同尋常的圖樣也存在于晶體結構中。基于這項發現，謝赫特曼為準晶體的研究作出了杰出貢獻，并在 2011 年因此獲得了諾貝爾獎（詳見：《永不重復的圖案》）。這一突破迫使科學家重新考慮他們對物質本質的概念。

Dan Schechtman 從一種金屬合金中得到的電子衍射圖顯示出具有十重旋轉對稱性的圖樣。 圖片來源：Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984)

　　2005 年，哈佛大學物理學家Peter James Lu展示了使用吉里赫瓷磚可以相對容易地產生這種準晶體圖案的可能性。吉里赫瓷磚將幾種純粹的幾何形狀組合成五種圖案：一個正十邊形、一個不規則六邊形、一個蝴蝶領結、一個菱形和一個正五邊形。

激光切割的吉里赫瓷磚。 圖片來源：38462165@N05/flickr

　　無論使用的方法什么，很顯然，達爾比伊阿訇的準晶體圖案是由沒受過高等數學訓練的工匠創造的。而數學家花了幾個世紀的時間來分析和闡明這些圖案。換句話說，直覺走在了充分理解的前頭。

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　　透視和非歐幾里德數學

　　幾何透視在意大利文藝復興時期引發了一場藝術革命，它使得以一種逼真且準確的方法來描繪可見的世界成為可能。有人可能會說，透視法還導致了人們對數學基本定律的進行重大的重新審視。

這條軌道實際上從未相交，但隨著它們向地平線靠近，似乎它們會在一個遙遠的“消失點”上匯合。 圖片來源：royluck / flickr

　　根據歐幾里得數學，兩條平行線將永遠保持平行，永不相交。然而，在文藝復興時期的透視法中，平行線最終會在遙遠的“消失點”上相交。換句話說，文藝復興時期的透視法呈現的是一種遵循常規數學規律的幾何，而不是歐幾里德幾何。

　　當數學家在 19 世紀初首次構想出非歐幾里得數學時，他們設想了一個平行線會在無限遠處相交的世界。他們探索的幾何學在很多方面與文藝復興時期的透視法相似。

　　從那以后，非歐幾里得數學開始探索 12、13 維的空間，這遠遠超出了文藝復興時期的透視法。但值得思考的是，文藝復興時期的藝術是否讓最初的這步飛躍變得更加容易了？

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　　波洛克的混亂繪畫

　　一個打破了傳統界限，與近代的數學發展有相似之處的有趣的現代藝術例子是畫家杰克遜·波洛克的作品。

　　對那些第一次看到波洛克的作品的人來說，這些畫作顯得雜亂無章，毫無意義。然而，隨著時間的推移，我們逐漸發現作品中的有序元素，盡管不是傳統意義上的那種。它們的形狀既可預測又不可預測，就像水龍頭的滴水模式一樣，你無法預測下一次水滴的確切效果；但如果你繪制水滴的模式，會發現它們落在一個有著清晰的形狀和邊界的區域內。

波洛克的作品：《灰的彩虹》。 圖片來源：ancientartpodcast/flickr

　　這種不可預測性曾在數學家研究的范圍之外，但近年來，它已成為數學研究中最熱門的領域之一。例如，混沌理論探索的就是那些不能被預測，但又落在一定的可定義可能范圍內的模式；而分形分析研究的是一類具有相似性但卻不完全相同的形狀。

　　波洛克本人對數學并沒有什么特別的興趣，在這方面的才能也非常有限。他對這些圖案的迷戀是憑直覺且主觀的。

　　有趣的是，數學家還不能準確地描述波洛克在畫中所做的事情。例如，有人嘗試用分形分析來創建一個波洛克風格的數字“簽名”，但到目前為止，這種方法還沒有奏效——我們無法從數學上區分波洛克的簽名作品和拙劣的模仿作品。即便波洛克使用了分形的概念，也可能是不正確的。

　　盡管如此，波洛克的既混亂又有序的模式為數學提供了一個富有成果的方向。在某種程度上，用數學工具很有可能可以描述波洛克做了什么，而藝術家們將不得不繼續前進，劃出一個可以探索的新領域。

總結

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