勾股數又名畢氏三元數?凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數。

?

編輯本段常用套路

簡介

所謂勾股數，一般是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數(a,b,c)。 即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于，任何一個勾股數組(a,b,c)內的三個數同時乘以一個整數n得到的新數組(na,nb,nc)仍然是勾股數，所以一般我們想找的是a,b,c互質的勾股數組。 關于這樣的數組，比較常用也比較實用的套路有以下兩種：

第一套路

當a為大于1的奇數2n+1時，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 實際上就是把a的平方數拆成兩個連續自然數，例如： n=1時(a,b,c)=(3,4,5) n=2時(a,b,c)=(5,12,13) n=3時(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 這是最經典的一個套路，而且由于兩個連續自然數必然互質，所以用這個套路得到的勾股數組全部都是互質的。

第二套路

2、當a為大于4的偶數2n時，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分別減1和加1，例如： n=3時(a,b,c)=(6,8,10) n=4時(a,b,c)=(8,15,17) n=5時(a,b,c)=(10,24,26) n=6時(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 這是次經典的套路，當n為奇數時由于(a,b,c)是三個偶數，所以該勾股數組必然不是互質的；而n為偶數時由于b、c是兩個連續奇數必然互質，所以該勾股數組互質。 所以如果你只想得到互質的數組，這條可以改成，對于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2時(a,b,c)=(8,15,17) n=3時(a,b,c)=(12,35,37) n=4時(a,b,c)=(16,63,65) ... ...

編輯本段公式證明

證明

a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 證： 假設a^2+b^2=c^2，這里研究(a,b)=1的情況（如果不等于1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可） 如果a,b均奇數，則a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇數mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一個偶數。不妨設a=2k 等式化為4k^2 = (c+b)(c-b) 顯然b,c同奇偶（否則右邊等于奇數矛盾） 作代換：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，顯然M，N為正整數 現在往證：(M,N)=1 如果存在質數p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 從而p|c, p|b, 從而p|a，這與(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得證。 依照算術基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均為偶數，p1,p2,p3...均為質數 如果對于某個pi，M的pi因子個數為奇數個，那N對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1與剛才的證明矛盾　所以對于所有質因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方數。 設M = m^2, N = n^2 從而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 從而a=2mn

局限

目前，關于勾股數的公式還是有局限的。勾股數公式可以得到所有的基本勾股數，但是不可能得到所有的派生勾股數。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式計算出來。

編輯本段完全公式

完全公式

a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ① 其中m ≥3 ⒈ 當m確定為任意一個 ≥3的奇數時，k={1，m^2的所有小于m的因子} ⒉ 當m確定為任意一個 ≥4的偶數時，k={m^2 / 2的所有小于m的偶數因子} 基本勾股數與派生勾股數可以由完全一并求出。例如，當m確定為偶數432時，因為k={432^2 / 2的所有小于432的偶數因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，將m=432及24組不同k值分別代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角邊a=432時，具有24組不同的另一直角邊b和斜邊c，基本勾股數與派生勾股數一并求出。而勾股數的組數也有公式能直接得到。

組數N

算術基本定理：一個大于1的正整數n，如果它的標準分解式為n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因數個數為N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依據定理，易得以下結論 當a給定時，不同勾股數組a，b，c的組數N等于①式中k的可取值個數 ⒈ 取奇數a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，則k的可取值個數： N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2 ⒉ 取偶數a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a的偶數因子}，則k的可取值個數： N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2 其中，p1，p2，……，pr為互不相同的奇素數，m0，m1，……，mr為冪指數。

編輯本段整數勾股數

常見勾股數

3，4，5 ： 勾三股四弦五 5，12，13 ： 5·12記一生（13） 6，8，10： 連續的偶數 8，15，17 ： 八月十五在一起（17）

特殊勾股數

連續的勾股數只有3，4，5 連續的偶數勾股數只有6，8，10

20以內

3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82

20-40

20 21 29；20 48 52；21 28 35；21 72 75；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104

40-100

42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ； 54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ； 60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ； 72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116 ；

轉載于:https://www.cnblogs.com/E-star/archive/2013/05/14/3077259.html

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的勾股数学习的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。