《用 Python 學(xué)微積分》原文見參考資料 1。

13、大 O 記法

比較兩個(gè)函數(shù)時(shí)，我們會(huì)想知道，隨著輸入值 x 的增長或減小，兩個(gè)函數(shù)的輸出值增長或減小的速度究竟誰快誰慢。通過繪制函數(shù)圖，我們可以獲得一些客觀的感受。

比較 x!、ex、x3 和 log(x) 的變化趨勢。

importnumpy as npimportsympyimportmatplotlib.pyplot as plt

x= range(1,7)

factorial= [np.math.factorial(i) for i inx]

exponential= [np.e**i for i inx]

polynomial= [i**3 for i inx]

logarithmic= [np.log(i) for i inx]

plt.plot(x,factorial,'black',\

x,exponential,'blue',\

x,polynomial,'green',\

x,logarithmic,'red')

plt.show()

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根據(jù)上圖，當(dāng) x—>∞ 時(shí)，x!>ex>x3>ln(x)。要想證明的話，可以取極限，用洛必達(dá)法則，例如：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^3}=\infty$$

表明當(dāng) x—>∞ 時(shí)，雖然分子分母都在趨向無窮大，但分子遠(yuǎn)遠(yuǎn)凌駕于分母之上。類似地，也可以這樣看：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ln(x)}{x^3}=0$$

表明分母遠(yuǎn)遠(yuǎn)凌駕于分子之上。

SymPy 是 Python 的數(shù)學(xué)符號(hào)計(jì)算庫，用它可以進(jìn)行數(shù)學(xué)公式的符號(hào)推導(dǎo)。下面代碼用 SymPy 來推導(dǎo)上面兩式。

importsympyfrom sympy.abc importx#sympy中無限infty用oo表示

print ((sympy.E**x)/(x**3)).limit(x,sympy.oo)#result is: oo

print (sympy.ln(x)/x**3).limit(x,sympy.oo)#result is 0

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為了描述這種隨著 x—>∞ 或 x—>0 時(shí)函數(shù)的表現(xiàn)，我們定義如下大 O 記法：

若我們稱函數(shù) f(x) 在 x—>0 時(shí)是 O(g(x))，則需要找到一個(gè)常數(shù) C，對(duì)于所有足夠小的 x，均有 |f(x)|

若我們稱函數(shù) f(x) 在 x—>∞ 時(shí)是 O(g(x))，則需要找到一個(gè)常數(shù) C，對(duì)于所有足夠大的 x，均有 |f(x)|

之所以叫大 O 記法，是因?yàn)楹瘮?shù)的增長速率很多時(shí)候被稱為函數(shù)的階(Order)。

例如，當(dāng)?x—>∞ 時(shí)，x(1+x2)1/2 是 O(x2)，下面來個(gè)直觀感受。

下圖是兩個(gè)函數(shù)的變化趨勢，紅線是?x(1+x2)1/2?，藍(lán)線是 2x2 。

importsympyfrom sympy.abc importximportnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt

xvals= np.linspace(0,100,1000)

f= x*sympy.sqrt(1+x**2)

g= 2*x**2y1= [f.evalf(subs={x:xval}) for xval inxvals]

y2= [g.evalf(subs={x:xval}) for xval inxvals]

plt.plot(xvals[:10],y1[:10],'r',xvals[:10],y2[:10],'b')#plt.plot(xvals,y1,'r',xvals,y2,'b')

plt.show()

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Sympy 可以幫助我們分析函數(shù)的階，如下面求 x(1+x2)1/2?的階。

importsympyfrom sympy.abc importx

f= x*sympy.sqrt(1+x**2)printsympy.O(f, (x, sympy.oo))#result is : O(x**2, (x, oo))

計(jì)算機(jī)中使用大 O 記法，通常是分析當(dāng)輸入數(shù)據(jù)?—>∞ 時(shí)，程序在時(shí)間或空間上的表現(xiàn)。然而，從上面的介紹，我們知道這個(gè)位置可以是 0，甚至可以是任何有意義的位置。

importsympyfrom sympy.abc importx

f= x*sympy.sqrt(1+x**2)printsympy.O(f, (x, 0))#result is : O(x)

在前面泰勒級(jí)數(shù)一節(jié)，利用 Sympy 取函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)時(shí)，代碼是這樣：

importsympyfrom sympy.abc importx

exp= sympy.E**x

sum15= exp.series(x,0,15).removeO()print sum15

其中?removeO() 的作用是讓 sympy 忽略掉級(jí)數(shù)展開后的大 O 表示項(xiàng)。不然結(jié)果如下：

importsympyfrom sympy.abc importx

exp= sympy.E**xprint exp.series(x, 0, 3)#result is: 1 + x + x**2/2 + O(x**3)

這表示從泰勒級(jí)數(shù)的第 4 項(xiàng)起，剩余所有項(xiàng)在 x—>0 時(shí)是 O(x3)。這表明，當(dāng)?x—>0 時(shí)，用 1+x+0.5x2 來近似 ex ，我們得到的誤差上限將是 Cx3，其中 C 是一個(gè)常數(shù)。也就是說，大 O 記法能用來描述我們使用多項(xiàng)式近似時(shí)的誤差。

另外大 O 記法也可以直接參與計(jì)算中去，例如要計(jì)算：

$$cos(x^2)\sqrt{(x)}$$

在 x—>0 時(shí)階 O(x5) 以內(nèi)的多項(xiàng)式近似，可以這樣：

$$cos(x^2)\sqrt{(x)}=(1-\frac{1}{2}x^4+O(x^6))x^{\frac{1}{2}}$$

$$\qquad = x^{\frac{1}{2}}- ? ?\frac{1}{2}x^{\frac{9}{2}} + O(x^{\frac{13}{2}})$$

importsympyfrom sympy.abc importxprint (sympy.cos(x**2)*sympy.sqrt(x)).series(x,0,5)#result is: sqrt(x) - x**(9/2)/2 + O(x**5)

14、導(dǎo)數(shù)

對(duì)函數(shù)某一點(diǎn)求導(dǎo)，得到的是函數(shù)在該點(diǎn)處切線的斜率。選中函數(shù)圖像中某一點(diǎn)，不斷放大，最后會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像一條直線，這條直線就是切線。下面獲得一些直觀的感受。

import numpy asnpfromsympy.abc import x

import matplotlib.pyplotasplt

# 函數(shù)

f= x**3-2*x-6# 在x=6處正切于函數(shù)的切線

line= 106*x-438d1= np.linspace(2,10,1000)

d2= np.linspace(4,8,1000)

d3= np.linspace(5,7,1000)

d4= np.linspace(5.8,6.2,100)

domains=[d1,d2,d3,d4]

# 畫圖的函數(shù)

def makeplot(f,l,d):

plt.plot(d,[f.evalf(subs={x:xval}) for xval in d],'b',\

d,[l.evalf(subs={x:xval}) for xval in d],'r')for i inrange(len(domains)):

# 繪制包含多個(gè)子圖的圖表

plt.subplot(2, 2, i+1)

makeplot(f,line,domains[i])

plt.show()

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導(dǎo)數(shù)定義 1：

$$f'(a)=\frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

若該極限不存在，則函數(shù)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)不存在。

導(dǎo)數(shù)定義 2：

$$f'(a)=\frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

若該極限不存在，則函數(shù)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)不存在。

導(dǎo)數(shù)定義 3：

函數(shù) f(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù) f'(a) 是滿足如下條件的常數(shù) C，對(duì)于在 a 附近輸入值的微小變化 h，有 f(a+h)=f(a)+Ch+O(h2) 始終成立。也就是說導(dǎo)數(shù) C 輸入值變化中一階項(xiàng)的系數(shù)。上式稍加變化，兩邊同時(shí)除以 h，并同時(shí)取極限可得：

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}C+O(h)=C$$

便與上面定義 2 相一致了。

例如求 cos(x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)：

$$cos(a+h)=cos(a)cos(h)-sin(a)sin(h)$$

$$\qquad = cos(a)(1+O(h^2))-sin(a)(h+O(h^3))$$

$$\qquad = cos(a)-sin(a)h +O(h^2)$$

所以：

$$\fracze8trgl8bvbq{dx}{cos(x)}\bigg|_{x=a}=-sin(a)$$

我們可以自己定義求導(dǎo)的函數(shù)：

importnumpy as npfrom sympy.abc importx

f= lambda x: x**3-2*x-6

#我們?cè)O(shè)定參數(shù)h的默認(rèn)值，如果調(diào)用函數(shù)時(shí)沒有指明參數(shù)h的值，便會(huì)使用默認(rèn)值

def derivative(f,h=0.00001):return lambda x: float(f(x+h)-f(x))/h

fprime=derivative(f)print fprime(6)#result is：106.000179994

Sympy 也提供求導(dǎo)的方法：

from sympy.abc importx

f= x**3-2*x-6

printf.diff()#result is :3*x**2 - 2

print f.diff().evalf(subs={x:6})#result is : 106.0000000000

依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 3，有??f(a+h)=f(a)+f'(a)h+O(h2)，如果將高階項(xiàng)丟掉，就獲得了 f(a+h) 的線性近似式子：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h。

例如，用線性近似的方法估算 2551/2：

$$\sqrt{256-1}\approx \sqrt{256}+\frac{1}{2\sqrt{256}}(-1)$$

$$\qquad = 16 - \frac{1}{32}$$

$$\qquad = 15\frac{31}{32}$$

15、牛頓迭代法

如何在不使用 x1/2 前提下求 C 的正二次根。

上述問題等價(jià)于求 f(x)=x2+C=0 的解，根據(jù)上面介紹的線性近似：f(x+h)≈f(x)+f'(x)h 。如果 f(x+h)=0，那么：

$$h\approx -\frac{f(x)}{f'(x)}$$

$$x+h\approx x - \frac{f(x)}{f'(x)}$$

如果我們對(duì) f(x)=0 的解有一個(gè)初始估計(jì) x0，便可以用上面的近似不斷獲取更加準(zhǔn)確的估計(jì)值，方法為：

$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'_{x_n}}$$

將 f(x)=x2+C 代入上式，即得 xn?的更新規(guī)則：

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_{n}+\frac{C}{x_{n}})$$

from sympy.abc importxdef mysqrt(c, x = 1, maxiter = 10, prt_step =False):for i inrange(maxiter):

x= 0.5*(x+ c/x)if prt_step ==True:#在輸出時(shí)，{0}和{1}將被i+1和x所替代

print "After {0} iteration, the root value is updated to {1}".format(i+1,x)returnxprint mysqrt(2,maxiter =4,prt_step =True)#After 1 iteration, the root value is updated to 1.5#After 2 iteration, the root value is updated to 1.41666666667#After 3 iteration, the root value is updated to 1.41421568627#After 4 iteration, the root value is updated to 1.41421356237#1.41421356237

通過繪圖進(jìn)一步了解這個(gè)方法，例如，我們要猜 f(x)=x2-2x-4=0 的解，從 x0=2 開始，找到 f(x) 在 x=x0 處的切線 y=2x-8，找到其與 y=0 的交點(diǎn) (4,0)，將該交點(diǎn)作為新的猜測解 x1=4，如此循環(huán)。

importnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt

f= lambda x: x**2-2*x-4l1= lambda x: 2*x-8l2= lambda x: 6*x-20x= np.linspace(0,5,100)

plt.plot(x,f(x),'black')

plt.plot(x[30:80],l1(x[30:80]),'blue', linestyle = '--')

plt.plot(x[66:],l2(x[66:]),'blue', linestyle = '--')

l= plt.axhline(y=0,xmin=0,xmax=1,color = 'black')

l= plt.axvline(x=2,ymin=2.0/18,ymax=6.0/18, linestyle = '--')

l= plt.axvline(x=4,ymin=6.0/18,ymax=10.0/18, linestyle = '--')

plt.text(1.9,0.5,r"$x_0$", fontsize = 18)

plt.text(3.9,-1.5,r"$x_1$", fontsize = 18)

plt.text(3.1,1.3,r"$x_2$", fontsize = 18)

plt.plot(2,0,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(2,-4,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(4,0,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(4,4,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(10.0/3,0,marker = 'o', color = 'r')

plt.show()

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如下定義牛頓迭代法：

def NewTon(f, s = 1, maxiter = 100, prt_step =False):for i inrange(maxiter):#相較于f.evalf(subs={x:s}),subs()是更好的將值帶入并計(jì)算的方法。

s = s - f.subs(x,s)/f.diff().subs(x,s)if prt_step ==True:print "After {0} iteration, the solution is updated to {1}".format(i+1,s)returnsfrom sympy.abc importx

f= x**2-2*x-4

print NewTon(f, s = 2, maxiter = 4, prt_step =True)#After 1 iteration, the solution is updated to 4#After 2 iteration, the solution is updated to 10/3#After 3 iteration, the solution is updated to 68/21#After 4 iteration, the solution is updated to 3194/987#3194/987

Sympy 可以幫助我們求解方程：

importsympyfrom sympy.abc importx

f= x**2-2*x-4

printsympy.solve(f,x)#result is：[1 + sqrt(5), -sqrt(5) + 1]

參考資料：

[1] https://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/content/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python 微积分_《用 Python 学微积分》笔记 2的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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