【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 推论 )
文章目錄
- 一、序列傅里葉變換共軛對稱性質 推論
- 二、證明推論一
一、序列傅里葉變換共軛對稱性質 推論
推論一 : 序列 x(n)x(n)x(n) 的 共軛序列 x?(n)x^*(n)x?(n) 的 傅里葉變換 :
x?(n)?SFTX?(e?jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x?(n)?SFT?X?(e?jω)
推論二 : 原序列為 x(n)x(n)x(n) , 則 x?(?n)x^*(-n)x?(?n) 的 傅里葉變換 :
x?(?n)?SFTX?(ejω)x^*(-n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{j \omega}) x?(?n)?SFT?X?(ejω)
二、證明推論一
證明推論一 : 序列 x(n)x(n)x(n) 的 共軛序列 x?(n)x^*(n)x?(n) 的 傅里葉變換 :
x?(n)?SFTX?(e?jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x?(n)?SFT?X?(e?jω)
根據 傅里葉變換的公式 :
SFT[x(n)]=X(ejω)=∑n=?∞+∞x(n)e?jωnSFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}SFT[x(n)]=X(ejω)=n=?∞∑+∞?x(n)e?jωn
以及共軛的性質 :
(a+b)?=a?+b?( a + b )^* = a^* + b^*(a+b)?=a?+b?
x(n)x(n)x(n) 的傅里葉變換為 :
SFT[x(n)]=X(ejω)=∑n=?∞+∞x(n)e?jωnSFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}SFT[x(n)]=X(ejω)=n=?∞∑+∞?x(n)e?jωn
x?(n)x^*(n)x?(n) 的傅里葉變換為 :
SFT[x?(n)]=∑n=?∞+∞x?(n)e?jωnSFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n}SFT[x?(n)]=n=?∞∑+∞?x?(n)e?jωn
將共軛提取到外部 , e?jωne^{-j \omega n}e?jωn 就變成 ejωne^{j \omega n}ejωn 了 , 可得到 :
SFT[x?(n)]=∑n=?∞+∞x?(n)e?jωn=[∑n=?∞+∞x(n)ejωn]?SFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n} = [ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^*SFT[x?(n)]=n=?∞∑+∞?x?(n)e?jωn=[n=?∞∑+∞?x(n)ejωn]?
最終得到 :
x?(n)?SFTX?(e?jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x?(n)?SFT?X?(e?jω)
總結
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