文章目錄

• 一、前置公式定理
• • 1、相關元素說明
  • • x(n) 分解為實部序列與虛部序列
    • x(n) 分解為共軛對稱序列與共軛反對稱序列 ( 序列對稱分解 )
    • X(e^{jω}) 分解為實部序列與虛部序列
    • X(e^{jω}) 分解為共軛對稱與反對稱序列的傅里葉變換 ( 頻域共軛對稱分解 )
  • 2、序列對稱分解定理
  • 3、傅里葉變換定義
• 二、證明 原序列實部 x_R(n) 的 傅里葉變換 是 原序列傅里葉變換 的 共軛對稱序列
• 1、共軛對稱序列分解
• 2、求 x^*(-n) 的傅里葉變換
• 3、求 x_e(n) 的傅里葉變換

一、前置公式定理

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1、相關元素說明

x(n) 分解為實部序列與虛部序列

$x(n)$ 可以分解為 實部序列 $x_R(n)$ 和 虛部序列 $j{x}_I(n)$ :

$$x(n)=x_R(n)+j{x}_I(n)$$

x(n) 分解為共軛對稱序列與共軛反對稱序列 ( 序列對稱分解 )

根據序列對稱分解定理 , $x(n)$ 還可以由序列的 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 和 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 之和表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

X(e^{jω}) 分解為實部序列與虛部序列

$x(n)$ 的傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 也可以分解為 實部序列 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虛部序列 $j{X}_I(e^{j\omega })$ :

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

X(e^{jω}) 分解為共軛對稱與反對稱序列的傅里葉變換 ( 頻域共軛對稱分解 )

根據 傅里葉變換的共軛對稱分解 , $x(n)$ 的傅里葉變換 , 可以由 $x(n)$ 的 共軛對稱序列 的傅里葉變換 $X_e(e^{j\omega })$ 與 $x(n)$ 的 共軛反對稱序列 的傅里葉變換 $X_o(e^{j\omega })$ 之和表示 ;

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

2、序列對稱分解定理

任意一個 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 之和來表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共軛對稱序列 $x_e(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 與 原序列 $x(n)$ 之間的關系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)?x^{?}(?n)]$$

3、傅里葉變換定義

序列傅里葉變換 SFT , 英文全稱 " Sequence Fourier Transform " ;

$x(n)$ 信號 是 離散 非周期 的 , 那么其 傅里葉變換 一定是 連續 周期 的 ;

$x(n)$ 是絕對可和的 , 滿足如下條件 :

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

連續周期 的傅里葉變換 , 可以展開成 正交函數線性組合 的 無窮級數和 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

就是 $x(n)$ 的 序列傅里葉變換 SFT ;

$\omega$ 是 數字角頻率 , 單位是 弧度/秒 , 參考 【數字信號處理】基本序列 ( 正弦序列 | 數字角頻率 ω | 模擬角頻率 Ω | 數字頻率 f | 模擬頻率 f0 | 采樣頻率 Fs | 采樣周期 T ) 博客 ;

$X(e^{j\omega })$ 是 實的連續的 變量 $\omega$ 的 復函數 , 其可以表示成 實部 和 虛部 ;

$$X(e^{j\omega })=X_g(e^{j\omega })+j{X}_l(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\theta (\omega )}$$

$|X(e^{j\omega })|$ 模 是其 " 幅頻特性 " ,

$e^{j\theta (\omega )}$ 相角 是其 " 相頻特性 " ,

其中

$$\theta (\omega )=\arg (X(e^{j\omega }))$$

二、證明 原序列實部 x_R(n) 的 傅里葉變換 是 原序列傅里葉變換 的 共軛對稱序列

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證明下面的公式 :

$x(n)$ 序列的 實部 $x_R(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛對稱序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里葉變換 $X_e(e^{j\omega })$ 具備 共軛對稱性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_e(e^{j\omega })$$

上述證明 原序列的實部 $x_R(n)$ 就是 原序列的 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 即可 ;

通過證明

$$x_R(n)=x_e(n)=0.5\times [x(n)+x^{?}(n)]$$

即可 ;

1、共軛對稱序列分解

根據 序列對稱分解定理 , 可得

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$$

對 $x_e(n)$求傅里葉變換 , 也就是對 $0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$ 求傅里葉變換 ;

2、求 x^*(-n) 的傅里葉變換

根據傅里葉變換定義 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

可得 $x^{?}(?n)$ 的傅里葉變換 是

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(?n)e^{?j\omega n}①$$

令 $?n=n^{\prime }$ , 則 上式 ① 可以寫成 :

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(?n)e^{?j\omega n}=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n^{\prime })e^{j\omega n^{\prime }}②$$

將 $n^{\prime }$ 寫成 $n$ , 可以得到下面的式子 :

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)e^{j\omega n}③$$

根據

$$(a+b{)}^{?}=a^{?}+b^{?}$$

公式 , 將上式 ③ 中的 共軛 ${}^{?}$ 提取到外面 :

$$[\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{j\omega n}{]}^{?}③$$

可以得到上面的 ③ 式就是 $X^{?}(e^{j\omega })$ ;

3、求 x_e(n) 的傅里葉變換

對 $x_e(n)$ 求傅里葉變換 , 也就是對 $0.5[x(n)+x^{?}(?n)]$ 求傅里葉變換 ;

其中 $x(n)$ 的傅里葉變換是 $X(e^{j\omega })$ , $x^{?}(?n)$ 的傅里葉變換是 $X^{?}(e^{j\omega })$ ;

綜合上述 , 可得 :

$$SFT[x_e(n)]=0.5X(e^{j\omega })+0.5X^{?}(e^{j\omega })$$

$X(e^{j\omega })$ 的虛部是正的 , $X^{?}(e^{j\omega })$ 的虛部是負的 , 這兩個虛部正好抵消 , 只剩下了實部 ,

而 $X(e^{j\omega })$ 可以分解為實部 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虛部 $j{X}_I(e^{j\omega })$ , 虛部抵消 , 只剩下實部 ,

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

因此得到 :

$$SFT[x_e(n)]=0.5X(e^{j\omega })+0.5X^{?}(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })$$

對 $x_e(n)$ 求傅里葉變換 , 最終得到 $x_R(n)$ 的傅里葉變換 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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