文章目錄

• 一、序列傅里葉變換定義詳細分析
• 二、證明單位復指數序列正交完備性
• 三、序列存在傅里葉變換的性質

一、序列傅里葉變換定義詳細分析

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序列傅里葉變換 SFT , 英文全稱 " Sequence Fourier Transform " ;

$x(n)$ 信號 是 離散 非周期 的 , 那么其 傅里葉變換 一定是 連續 周期 的 ;

$x(n)$ 是絕對可和的 , 滿足如下條件 :

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

連續周期 的傅里葉變換 , 可以展開成 正交函數線性組合 的 無窮級數和 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

就是 $x(n)$ 的 序列傅里葉變換 SFT ;

$\omega$ 是 數字角頻率 , 單位是 弧度/秒 , 參考 【數字信號處理】基本序列 ( 正弦序列 | 數字角頻率 ω | 模擬角頻率 Ω | 數字頻率 f | 模擬頻率 f0 | 采樣頻率 Fs | 采樣周期 T ) 博客 ;

$X(e^{j\omega })$ 是 實的連續的 變量 $\omega$ 的 復函數 , 其可以表示成 實部 和 虛部 ;

$$X(e^{j\omega })=X_g(e^{j\omega })+j{X}_l(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\theta (\omega )}$$

$|X(e^{j\omega })|$ 模 是其 " 幅頻特性 " ,

$e^{j\theta (\omega )}$ 相角 是其 " 相頻特性 " ,

其中

$$\theta (\omega )=\arg (X(e^{j\omega }))$$

二、證明單位復指數序列正交完備性

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證明如下 " 單位復指數序列 " 是 " 正交完備集 "

$$\{e^{?j\omega n}\}$$

其中 $n=0,\pm 1,\pm 2,?$

證明正交完備性方法 $e^{?j\omega n}$ 函數 , 乘以該函數的共軛 $(e^{?j\omega n}{)}^{?}$ , 然后在一個周期中求積分 , 計算結果如下 :

$${\int }_{?\pi }^{\pi }{e}^{?j\omega n}(e^{?j\omega n}{)}^{?}d\omega =?\begin{array}{ll}2\pi & m=n\\ & \\ 0& m=n\end{array}①$$

在上述計算結果的前提下 , 推導 $x(n)$ 和 $X(e^{j\omega })$ 之間的關系 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}②$$

將 ② 式 中 , 在等式兩邊 都乘以 $e^{j\omega k}$ , 然后對 $\omega$ 在 $?\pi$ ~ $\pi$ 之間進行積分得到 :

$${\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega ={\int }_{?\pi }^{\pi }\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}{e}^{j\omega k}d\omega$$

將 " $\sum$ 求和 " 與 " $\int$ 積分 " 交換位置 ,

$${\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega =\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n){\int }_{?\pi }^{\pi }{e}^{?j\omega n}{e}^{j\omega k}d\omega$$

根據 ① 式子的推導結果 ,

• 只有當 $n=k$ 時 , ${\int }_{?\pi }^{\pi }{e}^{?j\omega n}(e^{?j\omega n}{)}^{?}d\omega =2\pi$ ,
• 當 $n=k$ 時 , ${\int }_{?\pi }^{\pi }{e}^{?j\omega n}(e^{?j\omega n}{)}^{?}d\omega =0$ ,

$${\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega =?\begin{array}{ll}2\pi x(k)& n=k\\ & \\ 0& n=k\end{array}$$

將 $2\pi$ 除到左邊 , 即可得到下面的式子 :

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

是 $X(e^{j\omega })$ 的 序列傅里葉反變換 ISFT ;

三、序列存在傅里葉變換的性質

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$x(n)$ 序列存在 " 序列傅里葉變換 SFT " 的充分條件是 " $x(n)$序列絕對可和 " :

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

$$|X(e^{j\omega })|=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}\le \sum _{n=?\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

注意上述是充分條件 ,

• 如果 " $x(n)$序列絕對可和 " , 則 " 序列傅里葉變換 SFT " 一定存在 ;
• 如果 " 序列傅里葉變換 SFT " 存在 , 不一定 " $x(n)$序列絕對可和 " ; 某些 " 非絕對可和序列 " , 引入 廣義函數 $\delta (\omega )$ 后 , 其 傅里葉變換也存在 ;

總結

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