文章目錄

• 總結
• 一、相關函數與線性卷積概念
• • 1、卷積
  • • 卷積概念
    • 卷積公式
  • 2、相關函數
  • • 互相關函數
    • 自相關函數
• 二、相關函數與線性卷積關系
• • 1、相關函數與線性卷積對比
  • 2、使用 卷積 推導 相關函數
  • 3、使用 卷積 計算 互相關函數
  • 4、使用 卷積 計算 自相關函數

總結

相關函數 與 卷積 在 數學上是有關系的 , 但是其物理意義不同 ;

• 卷積的物理意義 : 線性時不變系統 輸入序列 , 輸出序列 與 單位脈沖響應 $h(n)$ 之間的關系 ;
• 相關函數 : 反應兩個信號之間的關系 ;

可以使用 " 快速計算卷積 " 的方法 , 計算相關函數 ;

一、相關函數與線性卷積概念

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1、卷積

卷積概念

對于 線性時不變系統 ( LTI - Linear time-invariant ) 來說 ,

假設 $x(n)$ 是 LTI 系統的 " 輸入序列 " , $y(n)$ 是 " 輸出序列 " ,

則有 :

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)=x(n)?h(n)$$

線性時不變系統 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 輸出序列 "

等于

" 輸入序列 " 與 " 系統單位脈沖響應 " 的 線性卷積 ;

卷積公式

卷積公式如下 :

$$y(n)=x(n)?h(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)$$

卷積具有交換律 :

$$y(n)=x(n)?h(n)=h(n)?x(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }h(m)x(n?m)$$

2、相關函數

互相關函數

互相關函數 表示的是 兩個不同的信號 之間的相關性 ;

$x(n)$ 與 $y(n)$ 的 " 互相關函數 " 如下 ,

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)y(n+m)$$

其中 $y(n)$ 進行了移位 , 向左移動了 $m$ 單位 ,

該 " 互相關函數 " 求的是 $y(n)$ 移位 $m$ 后的序列 與 $x(n)$ 序列之間的關系 ;

注意這里的 $n$ 表示的是時刻 , $m$ 表示的是信號移動的間隔 ;

該 " 互相關函數 " 表示的是 $x(n)$ 信號 , 與 隔了 $m$ 時間后的 $y(n)$ 信號之間的關系 ;

這 $2$ 個信號 ( 序列 ) 之間 " 關系 " 是一個 函數 , 函數的自變量是 $m$ 間隔 , 不是 $n$ ;

自相關函數

自相關函數 ( Autocorrelation Function ) :

$$r_{xx}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)x(n+m)=r_x(m)$$

" 自相關函數 " 是 " 自己信號 " 與 " 隔一段時間后的 自己信號 " 之間的 相關性 ;

如果 $m=0$ 時 , " 自己信號 " 與 " 隔一段時間 $m$ 后的自己信號 " 完全相等 , 該值就是 信號的能量 ;

$$r_x(0)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }|x(n){|}^2=E$$

二、相關函數與線性卷積關系

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1、相關函數與線性卷積對比

卷積可以寫為 :

$$g(n)=x(n)?y(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)y(n?m)$$

相關函數 :

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)y(n+m)$$

相關函數 與 卷積對比 :

• 加和式的范圍都是 $?\infty$ ~ $+\infty$ ;
• $x(n)$ 序列項的自變量不同 , 相關函數是 $n$ , 卷積是 $m$ ;
• $x(n)$ 序列 相關函數取了共軛 , 卷積沒有 ;
• $y(n)$ 序列 相關函數的 自變量是 $n+m$ , 卷積的自變量是 $n?m$ ;

2、使用 卷積 推導 相關函數

$x(?m)$ 的共軛 與 $y(m)$ 的 卷積 計算 :

$$x^{?}(?m)?y(m)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(?n)y(m?n)$$

令 $?n=n^{\prime }$ , $n$ 的范圍還是 $?\infty$ ~ $+\infty$ ,

使用 $n=?n^{\prime }$ 替換 $n$ , 帶入到上面的卷積式子中 ,

$$x^{?}(?m)?y(m)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(?(?n^{\prime }))y(m?(?n^{\prime }))$$

$$x^{?}(?m)?y(m)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n^{\prime })y(m+n^{\prime })=r_{xy}(m)$$

最終計算出來的結果就是 $r_{xy}(m)$ 互相關函數 ;

3、使用 卷積 計算 互相關函數

使用 卷積 計算 互相關函數 :

$$r_{xy}(m)=x^{?}(?m)?y(m)$$

4、使用 卷積 計算 自相關函數

使用 卷積 計算 自相關函數 :

$$r_x(m)=x^{?}(?m)?x(m)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】相关函数与线性卷积关系 ( 卷积概念 | 相关函数概念 | 相关函数与线性卷积对比 | x(-m) 共轭 与 y(m) 的卷积就是两个信号 位移 m 的相关函数 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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