文章目錄

• 一、根據 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定系統是否是 " 線性時不變系統 " 案例
• • 1、使用遞推方法證明
  • 2、證明線性
  • 3、證明時不變
  • • 先變換后移位
    • 先移位后變換
    • 時變系統結論

參考 【數字信號處理】線性常系數差分方程 ( “ 線性常系數差分方程 “ 與 “ 線性時不變系統 “ 關聯 | 根據 “ 線性常系數差分方程 “ 與 “ 邊界條件 “ 確定系統是否是 線性時不變系統方法 ) 中提出的方法 , 根據

• " 線性常系數差分方程 "
• " 邊界條件 "

判斷系統是否是 " 線性時不變系統 " ;

一、根據 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定系統是否是 " 線性時不變系統 " 案例

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線性常系數差分方程 :

$$y(n)?ay(n?1)=x(n)$$

邊界條件 ( 初始條件 ) :

$$y(0)=0$$

分析該 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定的系統 是否是 " 線性時不變系統 " ;

1、使用遞推方法證明

假設 系統的 " 輸入序列 " 為 :

$$x(n)$$

使用 " 線性常系數差分方程 " 遞推運算 , 可以得到 :

$$y(n)=\sum _{i=1}^n{a}^{n?i}x(i)u(n?1)$$

2、證明線性

假設

$$x(n)=a{x}_1(n)+b{x}_2(n)$$

將 $y(n)={\sum }_{i=1}^n{a}^{n?i}x(i)u(n?1)$ 代入上述假設的 $x(n)$ 式子中 ;

計算過程如下 :

$$y(n)=\sum _{i=1}^n{a}^{n?i}x(i)u(n?1)$$

$$=\sum _{i=1}^n{a}^{n?i}[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]u(n?1)$$

$$=a{y}_1(n)+b{y}_2(n)$$

上述系統是 " 線性系統 " ;

3、證明時不變

" 輸入序列 " 移動 $n_0$ , 開始計算 " 輸出序列 " , 查看 修改前后 的 " 輸出序列 " 是否相同 ;

先變換后移位

原始 " 輸出序列 " :

$$y(n)=\sum _{i=1}^n{a}^{n?i}x(i)u(n?1)$$

移位后的 " 輸出序列 " : 也就是 先 " 變換 " 后 " 移位 " ;

$$y(n?n_0)=\sum _{i=1}^{n?n_0}{a}^{n?n_0?i}x(i)u(n?n_0?1)$$

先移位后變換

原始 " 輸入序列 " :

$$x(n)$$

移位后的 " 輸入序列 " :

$$x(n?n_0)$$

先 " 移位 " 后 " 變換 " :

$$T[(n?n_0)]=\sum _{i=1}^n{a}^{n?i}x(i?n_0)u(n?1)$$

進行變量替換 , 假設 $i^{\prime }=i?n_0$ , 使用 $i=i^{\prime }+n_0$ 替換 $i$ ,

$$=\sum _{i=1?n_0}^{n?n_0}{a}^{n?n_0?i}x(i)u(n?1)$$

$$=\sum _{i=1?n_0}^{?1}{a}^{n?n_0?i}x(i)u(n?1)+\sum _{i=1?n_0}^{n?n_0}{a}^{n?n_0?i}x(i)u(n?1)$$

$$=\sum _{i=0}^{n?n_0}{a}^{n?n_0?i}x(i)u(n?n_0)$$

時變系統結論

先變換后移位 的 計算結果 : $$y(n?n_0)=\sum _{i=1}^{n?n_0}{a}^{n?n_0?i}x(i)u(n?n_0?1)$$

先移位后變換 的 計算結果 : $$=\sum _{i=0}^{n?n_0}{a}^{n?n_0?i}x(i)u(n?n_0)$$

這兩個結果不同 , 因此該系統不是 " 時不變 " 系統 , 是 時變系統 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 使用递推方法证明 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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