文章目錄

• 一、" 線性常系數差分方程 " 與 " 線性時不變系統 " 關聯
• 二、根據 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定系統是否是 " 線性時不變系統 " 方法
• • 1、線性時不變系統概念 ( 疊加性 | 不隨著時間的變化而變化 )
  • 2、證明方法
  • • ( 1 ) 根據概念證明
    • ( 2 ) 推導出通式

一、" 線性常系數差分方程 " 與 " 線性時不變系統 " 關聯

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根據上一篇博客 【數字信號處理】線性常系數差分方程 ( 使用遞推解法求解 “ 線性常系數差分方程 “ | “ 線性常系數差分方程 “ 初始條件的重要性 ) 中 , 得出如下結論 :

• " 線性常系數差分方程 " 所表示的 系統 , 不一定是 " 線性系統 " , 也不一定是 " 時不變系統 " ;
• " 邊界條件 " ( 初始條件 ) , 決定了 " 線性常系數差分方程 " 與 " 線性時不變系統 " ( LTI 系統 ) 之間的關系 ;

二、根據 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 確定系統是否是 " 線性時不變系統 " 方法

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1、線性時不變系統概念 ( 疊加性 | 不隨著時間的變化而變化 )

回顧下線性時不變系統 :

線性時不變系統 , 簡稱 " LTI " , 英文全稱 Linear time-invariant ;

線性 ( Linear ) : 線性的含義是 系統具有疊加性 , 給定 $x_1(n)$ 序列 和 $x_2(n)$ 序列 ,

$2$ 個 " 輸入序列 " 之和 的 輸出 $T[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]$ ,

等于

$2$ 個 " 輸入序列 " 輸出 之和 $aT[x_1(n)]+bT[x_2(n)]$ ;

$$T[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=aT[x_1(n)]+bT[x_2(n)]=a{y}_1(n)+b{y}_2(n)$$

線性 概念 , 總結一下就是 系統具有 " 疊加性 "

時不變系統 ( time-invariant ) : 系統特性 , 不隨著時間的變化而變化 ;

$$y(n?m)=T[x(n?m)]$$

輸入延遲后 , 輸出也隨之延遲 ;

如 : 昨天輸入 $x(n)$ 序列得到的輸出序列 , 與 今天輸入 $x(n)$ 序列得到的輸出序列 , 是相同的 ; 系統特性 , 不隨時間變化而變化 ;

線性時不變系統證明參考 :

• 【數字信號處理】線性時不變系統 LTI ( 判斷某個系統是否是 “ 非時變 “ 系統 | 案例一 | 先變換后移位 | 先移位后變換 )
• 【數字信號處理】線性時不變系統 LTI ( 判斷某個系統是否是 “ 非時變 “ 系統 | 案例二 )
• 【數字信號處理】線性時不變系統 LTI ( 判斷某個系統是否是 “ 非時變 “ 系統 | 案例三 )
• 【數字信號處理】線性時不變系統 LTI ( 判斷某個系統是否是 “ 線性 “ 系統 | 案例四 )

2、證明方法

( 1 ) 根據概念證明

如果系統是 " 線性系統 " ,

先假設一個 " 輸入序列 " $\delta (n)$ ,

再假設一個 " 輸入序列 " $\delta (n?1)$ ,

最后假設一個 " 輸入序列 " $\delta (n)+\delta (n?1)$ ,

查看上述 $3$ 種 " 輸入序列 " 對應的 " 輸出序列 " ;

有

• " 初始條件 / 邊界條件 " ,
• " 線性常系數差分方程 "
• " 輸入序列 "

可以得到 " 輸出序列 " ;

" 線性時不變 " 系統 , 滿足 " 疊加性 " 和 " 不隨著時間的變化而變化特性 " ;

( 2 ) 推導出通式

根據 " 線性常系數差分方程 " 與 " 邊界條件 " 推導出通式 , 然后通過該通式判斷 系統是否是 " 線性時不變系統 " ;

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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