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• 一、生成函數(shù)求和性質(zhì) 1 ( 向前求和 )
• 二、生成函數(shù)求和性質(zhì) 2 ( 向后求和 )

參考博客 :

• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) 簡要介紹 ( 生成函數(shù)定義 | 牛頓二項式系數(shù) | 常用的生成函數(shù) | 與常數(shù)相關(guān) | 與二項式系數(shù)相關(guān) | 與多項式系數(shù)相關(guān) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 線性性質(zhì) | 乘積性質(zhì) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 移位性質(zhì) )

一、生成函數(shù)求和性質(zhì) 1 ( 向前求和 )

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生成函數(shù)求和性質(zhì) 1 :

$b_n=\sum _{i=0}^n{a}_i$ , 則 $B(x)=\frac{A(x)}{1?x}$

數(shù)列 $a_n$ 的生成函數(shù)是 $A(x)$ , 數(shù)列 $b_n$ 的生成函數(shù)是 $B(x)$ ,

數(shù)列 $a_n=\{a_0,a_1,a_2,?\}$ , 數(shù)列 $b_n=\{b_0,b_1,b_2,?\}$ ;

數(shù)列 $a_n$ 的生成函數(shù) $A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+?$

數(shù)列 $b_n$ 的生成函數(shù) $B(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+?$

$b_n$ 數(shù)列中的第 $n$ 項 , 等于 $a_n$ 數(shù)列中的前 $n$ 項的和 ;

推導(dǎo) $b_n$ 數(shù)列的項 :

$b_0=a_0$

$b_1=a_0+a_1$

$b_2=a_0+a_1+a_2$

$?$

$b_n=a_0+a_1+a_2+?+a_n$

推導(dǎo)生成函數(shù)的項 :

$B(x)$ 中的$x^0$ 項 ( 常數(shù)項 ) : $b_0=a_0$

$B(x)$ 中的$x^1$ 項 ( 常數(shù)項 ) : $b_{1}x=(a_0+a_1)x$

$B(x)$ 中的$x^2$ 項 ( 常數(shù)項 ) : $b_2{x}^2=(a_0+a_1+a_2)x^2$

$?$

$B(x)$ 中的$x^n$ 項 ( 常數(shù)項 ) : $b_n{x}^n=(a_0+a_1+a_2+?+a_n)x^n$

將上述 $B(x)$ 中的各項相加 : 相加的策略是縱向相加 , 如下圖所示 :

第 $1$ 列相加 : $a_0+a_{0}x+a_0{x}^2+?+a_0{x}^n=a_0\frac{1}{1?x}$

第 $2$ 列相加 : $a_{1}x+a_1{x}^2+?+a_1{x}^n=a_{1}x\frac{1}{1?x}$

$?$

第 $n$ 列相加 : $a_n{x}^n=a_n{x}^n\frac{1}{1?x}$

最終得到 :

$B(x)=a_0\frac{1}{1?x}+a_{1}x\frac{1}{1?x}+?+a_n{x}^n\frac{1}{1?x}+?$

將其中的 $\frac{1}{1?x}$ 提取出來 , 就可以得到 :

$B(x)=\frac{1}{1?x}(a_0+a_{1}x++?+a_n{x}^n+?)$

$B(x)=\frac{1}{1?x}A(x)$

二、生成函數(shù)求和性質(zhì) 2 ( 向后求和 )

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生成函數(shù)求和性質(zhì) 2 :

$b_n=\sum _{i=n}^{\infty }{a}_i$ , 并且 $A(1)=\sum _{i=n}^{\infty }{a}_i$ 收斂 , 則 $B(x)=\frac{A(1)?xA(x)}{1?x}$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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