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• 一、非齊次部分是指數的情況
• 二、非齊次部分是指數的情況 示例

一、非齊次部分是指數的情況

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常系數線性非齊次遞推方程 : $H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k=0,f(n)=0$

上述方程左側 與 “常系數線性齊次遞推方程” 是一樣的 , 但是右側不是 $0$ , 而是一個基于 $n$ 的 函數 $f(n)$ , 這種類型的遞推方程稱為 “常系數線性非齊次遞推方程” ;

非齊次部分是指數的情況 :

如果上述 “常系數線性非齊次遞推方程” 的 非齊次部分 $f(n)$ 是指數函數 , ${\beta }^n$ ,

如果 $\beta$ 不是特征根 ,

則非齊次部分的特解形式為 : $H^{?}(n)=P{\beta }^n$ ,

$P$ 是常數 ;

將上述特解 $H^{?}(n)=P{\beta }^n$ , 代入遞推方程 , 求解出常數 $P$ 的值 , 進而得到了完整的特解 ;

“常系數線性非齊次遞推方程” 的通解是 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{?}(n)$

使用上述解出的 特解 , 與遞推方程 齊次部分的通解 , 組成遞推方程的完整通解 ;

二、非齊次部分是指數的情況 示例

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遞推方程 : $a_n=6a_{n?1}+8^{n?1}$

初值 : $a_1=7$

第一步 , 先求出該遞推方程 非齊次部分對應的特解 ,

遞推方程的標準形式是 : $a_n?6a_{n?1}=8^{n?1}$

非齊次部分是 $8^{n?1}$ ,

因此其 特解 的形式是 $a^{?}n=P{8}^{n?1}$ , 其中 $P$ 是常數 ;

將特解代入上述遞推方程 :

$P{8}^{n?1}?6P{8}^{n?2}=8^{n?1}$

在 $6P{8}^{n?2}$ 項乘以 $8$ 變成 $6P{8}^{n?1}$ , 再除以 $8$ 變成 $\frac{6P{8}^{n?1}}{8}=\frac{3P{8}^{n?1}}{4}$ , 代入等式中 ,

$P{8}^{n?1}?\frac{3P{8}^{n?1}}{4}=8^{n?1}$

$\frac{P{8}^{n?1}}{4}=8^{n?1}$

$\frac{P}{4}=1$

$P=4$

特解中的常數項 $P=4$ , 最終特解為 $a^{?}n=4\times 8^{n?1}$

第二步 , 求出齊次部分的通解

遞推方程的標準形式是 : $a_n?6a_{n?1}=8^{n?1}$ ,

齊次部分是 $a_n?6a_{n?1}=0$

寫出特征方程 : $x?6=0$ ,

特征根 $q=6$

寫出齊次部分通解形式 : $\overline{a_n}=c\times 6^n$

“常系數線性非齊次遞推方程” 的通解是 $a_n=\overline{a_n}+a^{?}n$

遞推方程通解是 : $a_n=c\times 6^n+4\times 8^{n?1}$

第三步 , 代入初值, 求出最終通解

代入初值 $a_1=7$ 到上述通解中得到

$c\times 6^1+4\times 8^{1?1}=7$

$6c+4=7$

$c=\frac{1}{2}$

$a_n=c\times 6^n+4\times 8^{n?1}$ 通解中的常數常數 $c=\frac{1}{2}$ , 將常數代入 ,

通解為 $a_n=\frac{1}{2}\times 6^n+4\times 8^{n?1}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】递推方程 ( 非齐次部分是指数的情况 | 非齐次部分是指数的情况示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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