文章目錄

• 一、排列組合示例 1 ( 組合 | 乘法法則 | 加法法則 )
• 二、排列組合示例 2

參考博客 :

• 【組合數學】基本計數原則 ( 加法原則 | 乘法原則 )
• 【組合數學】集合的排列組合問題示例 ( 排列 | 組合 | 圓排列 | 二項式定理 )
• 【組合數學】排列組合 ( 排列組合內容概要 | 選取問題 | 集合排列 | 集合組合 )

一、排列組合示例 1 ( 組合 | 乘法法則 | 加法法則 )

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基本計數公式就是 加法法則 , 乘法法則 ;

從 $1$ ~ $300$ 中任意取出 $3$ 個數 , 使得這三個數的和能被 $3$ 整除 , 有多少種選取方法 ?

使用 分類 ( 乘法法則 ) , 分布 ( 加法法則 ) , 排列組合 的方法進行解決 ;

將上述 $1$ ~ $300$ 數字 , 按照除以 $3$ 的余數分為以下三類 :

• ① 除以 $3$ 余數為 $1$ : $A=\{1,4,?,298\}$
• ② 除以 $3$ 余數為 $2$ : $B=\{2,5,?,299\}$
• ③ 除以 $3$ 余數為 $0$ : $C=\{3,6,?,300\}$

組合問題 :

• 在 $A$ 集合中任選 $3$ 個數 , 三個數之和肯定是 $3$ 的倍數 , 可以倍 $3$ 整除 ; 選取方法有 $C(100,3)$ 種 ;

• 在 $B$ 集合中任選 $3$ 個數 , 三個數之和肯定是 $3$ 的倍數 , 可以倍 $3$ 整除 ; 選取方法有 $C(100,3)$ 種 ;

• 在 $C$ 集合中任選 $3$ 個數 , 三個數之和肯定是 $3$ 的倍數 , 可以倍 $3$ 整除 ; 選取方法有 $C(100,3)$ 種 ;

乘法法則 : 在 $A,B,C$ 中每個集合各取一個數 , 三個數之和也是 $3$ 的倍數 ,

• 第一個集合取 $1$ 個數 , 有 $100$ 種取法
• 第二個集合取 $1$ 個數 , 有 $100$ 種取法
• 第三個集合取 $1$ 個數 , 有 $100$ 種取法

總共有 $100^3$ 種取法 ;

最終的取法 , 使用加法法則 :

$$3C(100,3)+100^3=1485100$$

二、排列組合示例 2

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$1000!$ 末尾 $0$ 的個數 ?

這個數值使用乘法計算 , 非常大 , 基本無法計算 ;

列出因式 : 將 $1000!$ 看做

$1000\times 999\times 998\times ?\times 2\times 1$

因式 ;

原理說明 : 上述因式中有 $1000$ 個因子 , 將這 $1000$ 個因子分解 , 如果分解式中有 $i$ 個 $5$ , $j$ 個 $2$ , 則 $i$ 和 $j$ 中較小的值 $\min \{i,j\}$ 就是 $0$ 的個數 ;

上述 $1$ ~ $1000$ 這 $1000$ 個數字中統計分解出的 $2$ 和 $5$ 的個數

統計 $2$ 的因子個數 : 肯定大于 500 ;

• ① 是 $2$ 的倍數的數字有 $500$ 個
• ② 是 $4$ 的倍數的數字有 $250$ 個 , 分解出 $2\times 2$ , 其中一個 $2$ 在之前已經統計過 , 這里在加上 $250$ 個 $2$ , 當前有 $750$ 個 $2$ ;
• ③ 是 $16$ 的倍數的數字有 $62$ 個 , 分解出 $2\times 2\times 2$ , 其中兩個 $2$ 在之前已經統計過 , 這里在加上 $62$ 個 $2$ , 當前有 $812$ 個 $2$ ;
• ④ 是 $32$ 的倍數的數字有 $31$ 個 , 分解出 $2\times 2\times 2\times 2$ , 其中三個 $2$ 在之前已經統計過 , 這里在加上 $31$ 個 $2$ , 當前有 $833$ 個 $2$ ;
  $?$

統計 $5$ 的因子個數 : $249$ 個 ;

• ① 是 $5$ 的倍數的數字有 $200$ 個 , 統計有 $1$ 個因子 $5$ 的情況 , 其中肯定有的因子可以分解出 $25,125,625$ 等情況 , 下面逐漸細化剝離出沒有統計的因子 ;
• ② 是 $25$ 的倍數的數字有 $40$ 個 , 分解出 $5\times 5$ , 其中一個 $5$ 在之前已經統計過 , 這里在加上 $40$ 個 $5$ , 當前有 $240$ 個 $5$ ;
• ③ 是 $125$ 的倍數的數字有 $8$ 個 , 分解出 $5\times 5\times 5$ , 其中兩個 $5$ 在之前已經統計過 , 這里在加上 $8$ 個 $5$ , 當前有 $248$ 個 $5$ ;
• ④ 是 $625$ 的倍數的數字有 $1$ 個 , 分解出 $5\times 5\times 5\times 5$ , 其中三個 $5$ 在之前已經統計過 , 這里在加上 $1$ 個 $5$ , 當前有 $249$ 個 $5$ ;

分解出的 $2$ 的個數 $i$ 肯定是大于 $500$ 的數 ;

分解出的 $5$ 的個數 $j$ 值為 $249$ 個 ;

因此$1000!$ 末尾 $0$ 的個數 是 $249$ 個 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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