文章目錄

• 一、可比
• 二、嚴格小于
• 三、覆蓋
• 四、哈斯圖

一、可比

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可比 :

$A$ 集合 , 該集合上存在 偏序關系 $?$ 小于等于 ,

偏序集 是 集合 和 偏序關系 組成的有序對 $<A,?>$ ,

$x,y$ 是 $A$ 集合中的兩個元素 , $x,y\in A$ ,

要么是 $x?y$ , 要么就是 $y?x$ , 符號化表示是 $x?y\vee y?x$ , 兩種情況必選其一 ,

則稱 $x$ 與 $y$ 是可比的 ;

只要 $x,y$ 之間 存在偏序關系 , 不管誰在前 , 誰在后 , 都 統一稱 $x$ 與 $y$ 是可比的 ;

二、嚴格小于

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嚴格小于 概念需要基于 可比概念

嚴格小于 :

$A$ 集合 與 $A$ 上偏序關系 $?$ , 組成 偏序集 $<A,?>$ ,

$x,y$ 是 $A$ 集合中的兩個元素 , $x,y\in A$ ,

如果 $x,y$ 是可比的 ( $x,y$ 之間存在偏序關系 ) , 但是 $x$ 與 $y$ 不相等 , 則稱 $x$ 嚴格小于 $y$ ;

符號化表示 : $x?y\wedge x=y?x?y$

三、覆蓋

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覆蓋 概念需要基于 嚴格小于概念

覆蓋 :

$A$ 集合 與 $A$ 上偏序關系 $?$ , 組成 偏序集 $<A,?>$ ,

$x,y,z$ 是 $A$ 集合中的元素 , $x,y,z\in A$ ,

$x$ 嚴格小于 $y$ , $x?y$ ,

不存在 $z$ , 使 $x$ 嚴格小于 $z$ , 并且 $z$ 嚴格小于 $y$ ,

則稱 $y$ 覆蓋 $x$ ; ( 注意是 大 覆蓋 小 )

偏序關系中 大 覆蓋 小

符號化表示 : $x?y\wedge ??z(z\in A\wedge x?y?z)$

四、哈斯圖

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$A$ 集合 與 $A$ 上偏序關系 $?$ , 組成 偏序集 $<A,?>$ ,

$x,y$ 是 $A$ 集合中的兩個元素 , $x,y\in A$ ,

哈斯圖 :

① 頂點 : 使用 頂點 表示 $A$ 集合中的元素 ;

② 無向邊 : 當且僅當 $y$ 覆蓋 $x$ 時 , $y$ 頂點在 $x$ 頂點 上方 , 并且在 $x$ 頂點 與 $y$ 頂點之間 繪制一條 無向邊 ;

上圖是 $6$ 元集 上的偏序關系 $?$

$A$ 元素比 $B,C,D$ 元素都小

偏序關系是傳遞的 , $A$ 比 $B$ 小 , $B$ 比 $F$ 小 , 因此 $A$ 比 $F$ 小

最下面的元素 $A$ 是最小的 , 所有的元素都比 $A$ 大 ( 包括 $A$ , 偏序關系是自反的 )

最上面的元素 $F$ 是最大的 , 所有的元素都比 $F$ 小 ( 包括 $F$ , 偏序關系是自反的 )

$BCDE$ 四個元素互相都不可比

哈斯圖 與 關系圖對比 省略的內容 :

① 環 : 偏序關系是自反的 , 因此 每個頂點上都有環 , 可以省略掉環

② 箭頭 : 偏序關系是反對稱的 , 因此 兩個頂點兩兩之間肯定沒有雙向邊 , 都是單向邊 , 因此可以省略箭頭方向

③ 默認方向 : 使用上下位置表示箭頭的方向 , 箭頭默認向上 , 偏序是 小于等于 , 最小的在最小面, 最大的在最上面 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】序关系 ( 偏序集元素之间的关系 | 可比 | 严格小于 | 覆盖 | 哈斯图 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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