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【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 )

發布時間：2025/6/17 编程问答 33 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 ) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

I . 規劃問題
II . 線性規劃示例
III . 線性規劃數學模型三要素
IV . 線性規劃數學模型一般形式
V . 線性規劃數學模型向量形式
VI 線性規劃數學模型矩陣形式

I . 規劃問題

規劃問題概念 : 在生產和經營管理中 , 合理地安排人力 , 物力 , 資源 , 使它們能夠得到充分利用 , 以達到獲得最大的效益 ;

線性規劃問題 :

① 減小資源消耗 : 任務和目標確定 , 統籌兼顧 , 合理安排 , 用最少的資源完成上述任務和目標 ; 資源包括資金設備原料人力時間等 ;
② 獲得最大效益 : 資源是固定的 , 進行合理安排 , 獲得最大的效益 ;

II . 線性規劃示例

某工廠生產甲 , 乙兩種產品 , 分別要使用 A , B , C , D 四種設備進行加工 , 按照工藝流程規定 , 每種產品在不同設備上加工所需的時間如下表所示 , 如何安排生產 , 使總利潤最大 ;

設備 A設備 B設備 C設備 D利潤

產品甲	2	1	4	0	2
產品乙	2	2	0	4	3
設備有效臺時	12	8	16	12

線性規劃分析 :
1. $x_1$ 是產品甲的生產數量 , $x_2$ 是產品乙的生產數量 ;

2. 利潤 : 甲乙兩種產品的利潤之和 , 產品甲 2 元 , 產品乙 3 元 , 利潤要達到最大化 ;
$max Z = 2x_1 + 3x_2$

3. 設備 $A$ 的限制 : 設備 $A$ 最多使用 12 小時 , 兩種產品的使用時間不能超過 12 小時 ;
$2x1+2x2≤122x_1 + 2x_2 \leq 12$

4. 設備 $B$ 的限制 : 設備 $B$ 最多使用 8 小時 ;
$x1+2x2≤8x_1 + 2x_2 \leq 8$

5. 設備 $C$ 的限制 : 設備 $C$ 最多使用 16 小時 ;
$4x1≤164x_1 \leq 16$

6. 設備 $D$ 的限制 : 設備 $D$ 最多使用 12 小時 ;
$4x2≤124x_2 \leq 12$

7. 甲乙兩種產品數量的限制 , 兩個產品的數量必須大于等于 0 ;
$x1≥0,x2≥0x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0$

按照上述條件 , 計算出 $Z$ 的最大值 , 就是生產甲乙兩種產品的最大利潤 ;

III . 線性規劃數學模型三要素

線性規劃數學模型三要素 :

( 1 ) 決策變量 : 上述產品甲乙的個數 $x_1 , x_2$ 就是決策變量 , 直接關系到利潤的多少 ;
( 2 ) 目標條件 : 多個決策變量的線性函數 , 通常是求最大值或最小值問題 ; 上述示例中的 $max Z = 2x_1 + 3x_2$ 就是目標條件 ;
( 3 ) 約束條件 : 一組多個決策變量的線性等式或不等式組成 , 如上述 3 ~ 7 的四種設備的使用時間限制和決策變量的取值范圍 ;

IV . 線性規劃數學模型一般形式

目標函數 :
$c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$

約束條件 :

${a11x1+a12x2+?a1nxn≤(=?≥)b1?am1x1+am2x2+?amnxn≤(=?≥)bmx1≥0?x2≥0\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots a_{1n}x_n & \leq ( = \cdot \geq) & b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots a_{mn}x_n & \leq ( = \cdot \geq) & b_m \\ \\ \\x_1 \geq 0 \cdots x_2 \geq 0 \end{cases}$

上述線性規劃中 , 有 $n$ 個決策變量 , $m$ 個約束條件不等式 ;

簡寫形式 : 有 $n$ 個變量 , $m$ 個約束不等式 ;

$max(min)z=∑j=1ncjxj∑j=1naijxj≤(=?≥)bi(i=1,2?m)xj≥0(i=1,2?n)\begin{array}{lcl}max (min) z = \sum_{j=1}^{n}c_j x_j\\ \\ \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \leq ( = \cdot \geq) b_i & (i = 1 , 2 \cdots m) \\ \\x_j \geq 0 & (i = 1 , 2 \cdots n) \end{array}$

V . 線性規劃數學模型向量形式

向量形式 :

$m a x (m i n) z = C X$
${∑pjxj≤(=?≥)BX≥0\begin{cases} \sum p_j x_j \leq ( = \cdot \geq ) B\\ \\ X \geq 0 \end{cases}$

公式相關說明 :

1. 矩陣 $C$ 是 $1$ 行 $n$ 列矩陣 , 是一個 $\times n$ 矩陣 ; 該矩陣的元素是目標條件中決策變量的系數 ;
$\begin{bmatrix} c_1 , c_2 \cdots c_n\end{bmatrix}$

2. 矩陣 $X$ 是 $n$ 行 $1$ 列的矩陣 , 是一個 $\times 1$ 矩陣 ; 該矩陣的元素是決策變量 ;

$\begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

3. 矩陣 $P_j$ 是 $m$ 行 $1$ 列的矩陣 , 是一個 $\times 1$ 矩陣 ; 該矩陣的元素是第 $j$ 個約束條件的 $m$ 個決策變量前的系數 ;

$Pj=[a1j?amj]P_j = \begin{bmatrix}a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}$

4. 矩陣 $B$ 是 $m$ 行 $1$ 列的矩陣 , 是一個 $\times 1$ 矩陣 ; 該矩陣的元素是第 $j$ 個約束條件的 $m$ 個右側的不等式約束值 ;

$\begin{bmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$

VI 線性規劃數學模型矩陣形式

矩陣形式 :

$m a x (m i n) Z = C X$
${∑AX≤(=?≥)BX≥0\begin{cases} \sum AX \leq ( = \cdot \geq ) B\\ \\ X \geq 0 \end{cases}$