文章目錄

• • • • 群的定義
      • 群的分類
      • 群的證明方法
      • 交換群的證明方法
      • 數(shù)集回顧
      • 群的證明

群的定義

群 的 定義 : 一個(gè) 非空 集合 $G$ 中 , 如果 定義了 一個(gè) “乘法” 運(yùn)算 , 滿足以下 四個(gè) 性質(zhì) , 那么 該 非空集合 $G$ 稱為 群 ;

• 1. 封閉性 :
  • 1> 符號(hào)表示 : $?a,b\in G,a\times b=c\in G$
  • 2> 自然語(yǔ)言描述 : 非空集合 $G$ 中任意兩個(gè)元素 $a,b$ 相乘, 其結(jié)果 $c$ 也是 集合 $G$ 中的元素 ;
• 2. 結(jié)合律 :
  • 符號(hào)表示 : $?a,b,c\in G,a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ ;
• 3. 有單位元 :
  • 1> 符號(hào)表示 : $?e\in G,?a\in G,e\times a=a\times e=a$
  • 2> 自然語(yǔ)言描述 : 存在一個(gè) $e$ , 乘以 $a$ , 或者 與 $a$ 相乘 , 其結(jié)果都是 $a$ , 相當(dāng)于 $1$ ;
• 4. 每個(gè)元 $a$ 有逆元 $a^{?1}$ :
  • 1> 符號(hào)表示 : $?e\in G,?a\in G,?a^{?1}\in G,a^{?1}\times a=a\times a^{?1}=e$ ,
  • 2> 自然語(yǔ)言描述 : $e$ 是之前的 單位元 ( 類似于 $1$ ) , $a$ 與 $a$ 的逆 相乘 , 結(jié)果是單位元 $e$ ;

注意 :
這個(gè) “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元運(yùn)算 ;
$G\times G$ 構(gòu)成代數(shù)結(jié)構(gòu)可以表示成 $(G,?)$

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群的分類

群 的 分類 :

• 1.交換群 ( Abel 群 ) : 交換律 成立的 群 , 稱為 交換群 或 Abel 群 ;
• 2.非交換群 ( 非 Abel 群 ) : 交換律 不成立的 群 , 稱為 非交換群 或 非 Abel 群 ;
• 3.群 的 階 : 群 $G$ 含有的元素個(gè)數(shù)叫群的階 , 記做 $|G|$ ;
• 4.有限群 : $|G|$ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;
• 5.無(wú)限群 : $|G|$ 是 無(wú)限的 , 叫做 無(wú)限群 ;

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群的證明方法

群的證明方法 : 給定一個(gè) 集合 $G$ 和 二元運(yùn)算 , 證明該集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先說(shuō)明 該集合是一個(gè)非空集合 ;
• 2.證明封閉性 : 集合 中 任意兩個(gè)元素 進(jìn)行運(yùn)算 得到的 第三個(gè)元素 必須也在 集合中 ;
• 3.證明結(jié)合律 : 集合中 $a$ 與 $b$ 和 $c$ 進(jìn)行二元運(yùn)算 , 其結(jié)果 與 $a$ 和 $b$ 與 $c$ 進(jìn)行運(yùn)算結(jié)果相同 ;
• 4.證明其有單位元 : 集合中存在一個(gè) $e$ 元素 , $a$ 與 $e$ 和 $e$ 與 $a$ 運(yùn)算 結(jié)果都是 $a$ ; 相當(dāng)于乘法中的 $1$ 或 加法中的 $0$ ;
• 5.證明其逆元 : $a$ 與 $a^{?1}$ 或者 $a^{?1}$ 與 $a$ 進(jìn)行運(yùn)算 , 其結(jié)果是 $e$ 單位元 ;

滿足以上 $4$ 個(gè)條件 , 就可以證明 該集合 是一個(gè) 關(guān)于該運(yùn)算的 群 ;

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交換群的證明方法

在群的證明方法基礎(chǔ)上 , 證明其交換律成立 ;

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數(shù)集回顧

數(shù)集 及 表示方法 :

• 1.整數(shù) : $Z$ , 所有整數(shù)組成的集合 , 稱為 整數(shù)集 ;
• 2.正整數(shù) : $Z^{+},N^{?},N^{+}$ , 所有正整數(shù)組成的集合 , 稱為正整數(shù)集 ;
• 3.負(fù)整數(shù) : $Z^{?}$ , 所有負(fù)整數(shù)組成的集合 , 稱為負(fù)整數(shù)集 ;
• 4.非負(fù)整數(shù) : $N$ , 所有非負(fù)整數(shù)組成的集合 , 稱為非負(fù)整數(shù)集 ( 或 自然數(shù)集 ) ;
• 5.有理數(shù) : $Q$ , 全體有理數(shù) 組成的集合 , 稱為有理數(shù)集 ;
• 6.實(shí)數(shù)集 : $R$ , 全體實(shí)數(shù)組成的集合 , 稱為實(shí)數(shù)集 ;
• 7.虛數(shù) : $I$ , 全體虛數(shù)組成的集合 , 稱為虛數(shù)集 ;
• 8.復(fù)數(shù) : $C$ , 全體實(shí)數(shù) 和 虛數(shù) 組成的集合 , 稱為復(fù)數(shù)集 ;

有理數(shù) : 是由整數(shù)除法產(chǎn)生的 , 可以由分?jǐn)?shù)表示 , 其小數(shù)部分為 有限 或 無(wú)限循環(huán)小數(shù) ;
實(shí)數(shù) : 無(wú)理數(shù)一般是由正整數(shù)開(kāi)方產(chǎn)生 , 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) , 包含有理數(shù) 和 無(wú)理數(shù) , 無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù) ;
虛數(shù) : 虛數(shù)一般是平方是負(fù)數(shù)或根號(hào)內(nèi)是負(fù)數(shù)產(chǎn)生 , 虛數(shù)分為實(shí)部 或 虛部 ;

數(shù)集中的常用上標(biāo) 用法 :

• 1.正數(shù) : ${}^{+}$ 表示該數(shù)集中元素全為 正數(shù) ;
• 2.負(fù)數(shù) : ${}^{?}$ 表示該數(shù)集中的元素全為 負(fù)數(shù) ;
• 3.剔除 $0$ 元素 : ${}^{?}$ 表示剔除該數(shù)集上的元素 $0$ ;

$R^{?}$ 表示剔除 實(shí)數(shù)集 $R$ 中的 元素 $0$ ,
$R^{?}=R?\{0\}=R^{?}\cup R^{+}=(?\infty ,0)\cup (0,+\infty )$

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群的證明

題目 : 證明所有有理數(shù) 關(guān)于 乘法 構(gòu)成一個(gè)群 ;

證明方法 : 給定一個(gè) 集合 $G$ 和 二元運(yùn)算 , 證明該集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先說(shuō)明 該集合是一個(gè)非空集合 ;
• 2.證明封閉性 : 集合 中 任意兩個(gè)元素 進(jìn)行運(yùn)算 得到的 第三個(gè)元素 必須也在 集合中 ;
• 3.證明結(jié)合律 : 集合中 $a$ 與 $b$ 和 $c$ 進(jìn)行二元運(yùn)算 , 其結(jié)果 與 $a$ 和 $b$ 與 $c$ 進(jìn)行運(yùn)算結(jié)果相同 ;
• 4.證明其有單位元 : 集合中存在一個(gè) $e$ 元素 , $a$ 與 $e$ 和 $e$ 與 $a$ 運(yùn)算 結(jié)果都是 $a$ ; 相當(dāng)于乘法中的 $1$ 或 加法中的 $0$ ;
• 5.證明其逆元 : $a$ 與 $a^{?1}$ 或者 $a^{?1}$ 與 $a$ 進(jìn)行運(yùn)算 , 其結(jié)果是 $e$ 單位元 ;

滿足以上 $4$ 個(gè)條件 , 就可以證明 該集合 是一個(gè) 關(guān)于該運(yùn)算的 群 ;

證明 :

① 封閉性 : 有理數(shù) 相乘 肯定也是有理數(shù) , 滿足封閉性 ;
② 結(jié)合律 : $3$ 個(gè) 任意 有理數(shù) 相乘 , 顯然也是 滿足 結(jié)合律的 ;
③ 證明單位元 : 存在 $e=1$ , 有理數(shù) 乘以 1 或者 1 乘以 有理數(shù) , 都等于該有理數(shù) , 說(shuō)明單位元存在 ;
④ 證明逆 $a^{?1}$ 的存在 : 集合中的任意元素 $a$ , 其 $a^{?1}=\frac{1}{a}$ , $a^{?1}\times a=a\times a^{?1}=e=1$ , 其逆元成立 ;

因此 有理數(shù) 關(guān)于 乘法 構(gòu)成一個(gè)群 ;

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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