LU分解是指將一個 NxN 矩陣 A 分解為一個上三角矩陣 U 和下三角矩陣 L 的過程， 即： ＬU＝Ａ。

比如我們可以將一個 ３ｘ３ 矩陣分解為：

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如果我們需要求解方程 Ax = b，即求解 ＬU x = b。 那么令 Ux = y， 即求解 Ly=b， 得到y(tǒng)。接著求解Ux=y，得到x。由于L和U都是三角矩陣，極易使用追趕法得到解。在實際使用中，通常為了防止在分解過程中產(chǎn)生主元為零的情況，我們會帶一個排列矩陣 P， 即： PA = LU。?

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我們還可以使用LU分解來求矩陣的逆：設(shè) A的逆為B， 那么? AB = I 即 A [b1, b2, …,bN] = [e1, e2, …,eN]
也就是說? A bj = ej； 其中 j = 1, 2, …, N。那么我們只有使用上面的解方程法解N次就可以求出逆矩陣的N列。

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另外就是可以用來求行列式的值即det(A) = det(LU) = det(L)det(U).

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下面我給出一個C++版本的實現(xiàn)：

/**　Decompose matrix: PA=LU* */ template< int M> bool LUDecomposition::decompose(const Matrix<M, M> &matrix, Matrix<M, M> &ll,Matrix<M, M> &uu,int pivot[M]) {uu = matrix;ll.identity();for (int iRow=0; iRow<M; ++iRow){// find pivot rowspivot[iRow] = iRow;float maxValue = fabs(uu(iRow, iRow));for (int iNextRow=iRow+1; iNextRow<M; ++iNextRow){if (maxValue + FLOAT_EPS < fabs(uu(iNextRow, iRow)) ){pivot[iRow] = iNextRow;maxValue = fabs(uu(iNextRow, iRow));}}// if the matrix is singular, return errorif (almostZero(maxValue))return false;// if the pivot row differs from the current row, then// interchange the two rows.if (pivot[iRow] != iRow){ uu.swapRows(iRow, pivot[iRow]);}// update lower matrix and upper matrixfor (int iNextRow = iRow+1; iNextRow<M; ++iNextRow){double factor = uu(iNextRow, iRow) / uu(iRow, iRow);// lower matrixll(iNextRow, iRow) = (float)factor;// upper matrixuu(iNextRow, iRow) = 0.f;for (int iCol= iRow+1; iCol<M;++iCol){uu(iNextRow, iCol) -= uu(iRow, iCol) * factor;}}}return true; }/**　Solve LUx=b* */ template<int M> bool LUDecomposition::solve(const Matrix<M, M> &ll, const Matrix<M, M> &uu,float bb[M],float xx[M]) {// first, let y=Ux, solve Ly=bfloat yy[M];for (int ii=0; ii< M; ++ii){yy[ii] = bb[ii];for(int jj=0; jj<ii; ++jj)yy[ii] -= yy[jj] * ll(ii, jj);}// then solve Ux = yfor (int ii=M-1; ii>=0; --ii){if (almostZero(uu(ii, ii)))return false;xx[ii] = yy[ii];for (int jj=ii+1; jj<M; ++jj){xx[ii] -= xx[jj] * uu(ii, jj);}xx[ii] /= uu(ii, ii);}return true; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/y_wu/archive/2010/06/19/1760653.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的LU 分解 （LU Decomposition）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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