樹狀數組（Fenwick tree，又名binary indexed tree），是一種很實用的數據結構。它通過用節點i，記錄數組下標在[ i –2^k + 1, i]這段區間的所有數的信息（其中，k為i的二進制表示中末尾0的個數，設lowbit(i) = 2^k），實現在O(lg n)?時間內對數組數據的查找和更新。

樹狀數組的傳統解釋圖，不能很直觀的看出其所能進行的更新和查詢操作。其最主要的操作函數lowbit(k)與數的二進制表示相關，本質上仍是一種二分。因而可以通過二叉樹，對其進行分析。事實上，從二叉樹圖，我們對它所能進行的操作和不能進行的操作一目了然。

和前面提到的點樹類似，先畫一棵二叉樹，然后對節點中序遍歷（點樹是采用廣度優先），每個節點仍然只記錄左子樹信息，見圖：

?

?

由于采用的是中序遍歷，從節點1到節點k時，剛好有k個葉子被統計。

可以證明：

??葉子k，一定在節點k的左子樹下。

??以節點k為根的樹，其左子樹共有葉子lowbit(k)

節點k的父節點是：k + lowbit(k)?或?k - lowbit(k)?

節點k + lowbit(k)?是節點k的最近父節點，且節點k在它的左子樹下。

節點k - lowbit(k)?是節點k的最近父節點，且節點k在它的右子樹下。

節點k，統計的葉子范圍為：(k - lowbit(k),??k]。

節點k的左孩子是：k - lowbit(k) / 2

?

下面分析樹狀數組兩面主要應用：

1?更新數據x，進行區間查詢。

2?更新區間，查詢某個數。

由于，樹狀數組只統計了左子樹的信息，因而只能查詢更新區間[1, x]。只在在滿足[x,y]的信息可以由[1,x-1]和[1,y]的信息推導出時，才能進行區間[x,y]的查詢更新。這也是樹狀數組不能用于任意區間求最值的根本原因。

?

先定義兩個集合：

up_right(k)?：?節點k所有的父節點，且節點k在它們的左子樹下。

up_left(k)?：??節點k所有的父節點，且節點k在它們的右子樹下。

?

1??更新數據x，查詢區間[1,y]。

顯然，更新葉子x，要找出葉子x在哪些節點的左子樹下。因而節點k、所有的up_right(k)

都要更新。

查詢[1, y]，實際上就是把該區間拆分成一系列小區間，并找出統計這些區間的節點。可以通過找出y在哪些節點的右子樹下，這些節點恰好不重復的統計了區間[1, y-1]。因而要訪問節點y、所有的up_left(y)。

?

2?更新區間[1,y]，查詢數據x

??這和前面的操作恰好相反。與前面的最大不同之處在于：節點保存的不再是其葉子總個數這些信息，而是該區間的所有葉子都改變了多少。也就是說：每個葉子的信息，分散到了所有對它統計的節點上。因此操作和前面相似：

??更新[1,y]時，更新節點y、所有up_left(y)。

??查詢x時，??訪問x、所有up_right(x)。

?

前面的樹狀數組，只對左子樹信息進行統計，如果從后往前讀數據初始化樹狀數組，則變成只對右子樹信息進行統計，這時更新和查詢操作，剛好和前面的相反。

?

一般情況下，樹狀數組比點樹省空間，對區間[1, M]只要M+1空間，查詢更新時定位節點比較快，定位父節點和左右孩子相對麻煩點（不過，一般也不用到。從上往下查找，可參考下面代碼中的erease_nth函數（刪除第n小的數））。

?

下面是使用樹狀數組的實現代碼（求逆序數和模擬約瑟夫環問題）：

//www.cnblogs.com/flyinghearts
#include<cstdio>?
#include<cstring>?
#include<cassert>?
?
template<int?N>?struct?Round2k?
{?enum?{?down?=?Round2k<N?/?2u>::down?*?2};?};

template<>?struct?Round2k<1>?{?enum?{?down?=?1};?};
?

template?<int??Total,?typename?T?=?int>??//區間[1,?Total]
class??BIT?{
??enum?{?Min2k?=?Round2k<Total>::down};??
??T?info[Total?+?1];????????????????
??T?sz;?????????????????????????????????//可以用info[0]儲存總大小
??
public:
??BIT()?{?clear();?}
??void?clear()?{?memset(this,?0,?sizeof(*this));}
??int?size()?{?return?sz;?}

??int?lowbit(int?idx)?{?return?idx?&?-idx;}
??//尋找最近的父節點，left_up/right_up?分別使得idx在其右/左子樹下
??void?left_up(int&??idx)?{?idx?-=?lowbit(idx);?}
??void?right_up(int&??idx)?{?idx?+=?lowbit(idx);?}

??void?update(int?idx?,const?int?val?=?1)?{???//葉子idx?改變val個??
????assert(idx?>?0);
????sz?+=?val;
????for?(;?idx?<=?Total;?right_up(idx))?info[idx]?+=?val;?
??}

??void?init(int?arr[],?int?n)?{???????????????//?arr[i]為葉子i+1的個數
????assert(n?<=?Total);
????sz?=?n;
????//?for?(int?i?=?0;?i?<?n;?)?{
??????//?info[i?+?1]?=?arr[i];
??????//?if?(++i?>=?n)?break;
??????//?info[i?+?1]?=?arr[i];
??????//?++i;
??????//?for?(int?j?=?1;?j?<?lowbit(i);?j?*=?2u)?info[i]?+=?info[i?-?j];
????//?}??
????for?(int?i?=?0;?i?<?n;?)?{
??????info[i?+?1]?=?arr[i];
??????if?(++i?>=?n)?break;
??????int?sum?=?arr[i];
??????int?pr?=?++i;
??????left_up(pr);
??????for?(int?j?=?i?-?1;?j?>?pr;?left_up(j))?sum?+=?info[j];
??????info[i]?=?sum;??
????}
??}
??
??int?count(int?idx)?{??//[1,idx]?-?[1,?idx-1]
????assert(idx?>?0);??????
????int?sum?=?info[idx];
????//?int?pr?=?idx;???//int?pr?=?idx?-?lowbit(idx);????
????//?left_up(pr);???
????//?for?(--idx;?idx?>?pr;?left_up(idx))?sum?-=?info[idx];?//
????//?return?sum;
????for?(int?j?=?1;?j?<?lowbit(idx);?j?*=?2u)?sum?-=?info[idx?-?j];
????return?sum;
??}??
??
??int?lteq(int?idx)?{??????????????????????????????????//小等于
????assert(idx?>=?1?&&?idx?<=?Total);
??????int?sum?=?0;
????for?(;?idx?>?0;?left_up(idx))?sum?+=?info[idx];
??????return?sum;
??}
??
??int?gt(int?idx)?{?return?sz?-?lteq(idx);?}???????????//大于

??int?operator[](int?n)??{?return?erase_nth(n,?0);?}??//第n小
??
??int?erase_nth(int?n,?const?bool?erase_flag?=?true)???//刪除第n小的數
??{
????assert(n?>=1?&&?n?<=?sz);
????sz?-=?erase_flag;
????int?idx?=?Min2k;???????????????????????????????//從上往下搜索，先定位根節點?
????for?(int?k?=?idx?/?2u;?k?>?0;?k?/=?2u)?{
??????int?t?=?info[idx];
??????if?(n?<=?info[idx])?{?info[idx]?-=?erase_flag;?idx?-=?k;}??//進入左子樹??????
??????else?{
????????n?-=?t;
????????if?(Total?!=?Min2k?&&?Total?!=?Min2k?-?1)?//若不是完全二叉樹
??????????while?(idx?+?k?>?Total)??k?/=?2u;???????//則必須計算右孩子的編號?
????????idx?+=?k;??????????????????????????????????//進入右子樹???
??????}
????}
????assert(idx?%?2u);???????????????????//最底層節點m一定是奇數，有兩個葉子m，m+1
????if?(n?>?info[idx])?return?idx?+?1;??//節點m+1前面已經更新過
????info[idx]?-=?erase_flag;?
????return?idx;
??}

??void?show()
??{
????for?(int?i?=?1;?i?<=?Total;?++i)
??????if?(count(i))?printf("%2d?",?i);
????printf("\n");??
??}
??
};?



void?ring()???????????//約瑟夫環
{
??const?int?N?=?17;???//N個人編號：1,2,??N
??const?int?M?=?7;????//報數：1到M，報到M的出列
??printf("?N:?%d???M:?%d\n",?N,?M);
??BIT<N>?pt;
??//?for?(int?i?=?0;?i?<?N;?++i)?pt.update(i?+?1);
??int?arr[N];
??for?(int?i?=?0;?i?<?N;?++i)?arr[i]?=?1;
??pt.init(arr,?N);

??for?(int?j?=?N,?k?=?0;?j?>=?1;?--j)?{
????k?=?(k?+?M-1)?%?j;
????int?t?=?pt.erase_nth(k?+?1);
????printf("?turn:?%2d??out:?%2d???rest:??",?N?-?j,?t);
????pt.show();
??}
??printf("?\n\n");
}

int?ra(int?arr[],?int?len)?//求逆序數-直接搜索
{
??int?sum?=?0;
??for?(int?i?=?0;?i?<?len?-?1;?++i)
????for?(int?j?=?i?+?1;?j?<?len;?++j)
??????if?(arr[i]?>?arr[j])?++sum;
??return?sum;????
}

template<int?N>
int?rb(int?arr[],?int?len)?//求逆序數-使用樹狀數組
{
??BIT<N>?pt;
??int?sum?=?0;
??for?(int?i?=?0;?i?<?len;?++i)?{
????pt.update(arr[i]?+?1);
????sum?+=?pt.gt(arr[i]?+?1);
??}
??return?sum;??
}


int?main()
{
??int?arr[]?=?{?4,3,2,1,0,5,?1,3,0,2};
??const?int?N?=?sizeof(arr)?/?sizeof(arr[0]);
??printf("%d?%d\n\n",?ra(arr,?N),?rb<6>(arr,?N));
??ring();
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的用二叉树来理解树状数组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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