四旋翼飛行器旋轉(zhuǎn)矩陣公式推導(dǎo)！

方法一：

1.在二維平面中：如下圖所示，在xoy平面中有一向量op??=(x,y)T，旋轉(zhuǎn)?角后變?yōu)橄蛄?span id="ze8trgl8bvbq" class="MathJax_Preview" style="color:rgb(136,136,136)">op??′=(x′,y′)T。?
　　

　　據(jù)圖可得： x=|op??|cosθ；y=|op??|sinθ ，經(jīng)旋轉(zhuǎn) ? 角后有:?
　　 x′=|op??|cos(θ+?)=|op??|(cosθcos??sinθsin?)=xcos??ysin? ?
　　 y′=|op??|sin(θ+?)=|op??|(sinθcos?+cosθsin?)=xsin?+ycos?； ?
寫成矩陣形式：?
　　 (x′y′)=(cos?sin??sin?cos?)(xy) ?
　　2.在三維空間中：如下圖所示，若以坐標系的三個坐標軸X、Y、Z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。?

　　例：? op?? 繞X軸旋轉(zhuǎn) ? 角，有：?
旋轉(zhuǎn)前： ?
旋轉(zhuǎn)后： ?
寫成矩陣形式： ?
則繞X軸旋?角的旋轉(zhuǎn)矩陣為：? Rx(?)=（1000cos??sin?0sin?cos?） ?
同理可得繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的不同角度的旋轉(zhuǎn)矩陣（方向余弦矩陣）分別為：?

　　最后，若 op??

繞某一定軸旋轉(zhuǎn)，從歐拉定律中可知，繞著固定軸做一個角值的旋轉(zhuǎn)，可以被視為分別以坐標系的三個坐標軸X、Y、Z作為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)的疊加。

方法二：

一、先來個平面旋轉(zhuǎn)的分析：

兩角和(差)公式

推導(dǎo)

旋轉(zhuǎn)變換一般是按照某個圓心點，以一定半徑?r?旋轉(zhuǎn)一定的角度α，為了簡單起見我們給出下面的情景

假定點A(x,y)想經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換到達B(x',y')，已知旋轉(zhuǎn)角度α和點A坐標，計算出點B

要計算點B則分別計算他的x'和y'分量

根據(jù)矩陣乘法計算規(guī)則，可以推出?

只要給出旋轉(zhuǎn)角度，計算出矩陣，然后使用這個矩陣分別左乘每一個點，就能計算出這個點旋轉(zhuǎn)后的點坐標 這樣我們就可以通過矩陣變換坐標了?

二、延伸到三維坐標：

? ? 坐標的旋轉(zhuǎn)變換在很多地方都會用到，比如機器視覺中的攝像機標定、圖像處理中的圖像旋轉(zhuǎn)、游戲編程等。

任何維的旋轉(zhuǎn)可以表述為向量與合適尺寸的方陣的乘積。最終一個旋轉(zhuǎn)等價于在另一個不同坐標系下對點位置的重新表述。坐標系旋轉(zhuǎn)角度θ則等同于將目標點圍繞坐標原點反方向旋轉(zhuǎn)同樣的角度θ。
若以坐標系的三個坐標軸X、Y、Z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。
假設(shè)三維坐標系中的某一向量，其在直角坐標系中的圖如圖1所示。其中點P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分別為點M、點P、點N。 圖1 直角坐標系XYZ
1、繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角 繞Z軸旋轉(zhuǎn)，相當于在XY平面的投影OM繞原點旋轉(zhuǎn)，如下圖所示，OM旋轉(zhuǎn)θ角到OM'。 圖2 向量繞Z軸旋轉(zhuǎn)示意圖
? ?設(shè)旋轉(zhuǎn)前的坐標為，旋轉(zhuǎn)后的坐標為，則點M的坐標為，點M'的坐標為。由此可得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 對于和進行三角展開可得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 且有;可得繞Z軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
2、繞X軸旋旋轉(zhuǎn)θ角

繞X軸旋轉(zhuǎn)，相當于在YZ平面的投影ON繞原點旋轉(zhuǎn)，如下圖所示，ON旋轉(zhuǎn)θ角到ON'。 ? ?? 圖3 向量繞X軸旋轉(zhuǎn)示意圖
設(shè)旋轉(zhuǎn)前的坐標為，旋轉(zhuǎn)后的坐標為，則點N的坐標為，點N'的坐標為。由此可得：

? ? 對于和進行三角展開可得： 且有;可得繞X軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
3、繞Y軸旋旋轉(zhuǎn)θ角 繞Y軸旋轉(zhuǎn)，相當于在XZ平面的投影OQ繞原點旋轉(zhuǎn)，如下圖所示，OQ旋轉(zhuǎn)θ角到OQ'。 圖4 向量繞Y軸旋轉(zhuǎn)示意圖
設(shè)旋轉(zhuǎn)前的坐標為，旋轉(zhuǎn)后的坐標為，則點Q的坐標為，點Q'的坐標為。由此可得：

? ? 對于和進行三角展開可得： 且有;可得繞Y軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)矩陣為：



4、繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

總結(jié)

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