1、整數(shù)的表示 大部分（所有？）機器 有符號數(shù)是補碼表示。

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2、整數(shù)的運算。+ -就是+-，按位加減，注意有符號和無符號的數(shù)值溢出，*/ 可以轉(zhuǎn)換成移位等 同樣是有位的截斷，可以先十進制計算換成2進制再截斷。

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3、實際上是一種模運算，注意字長導致截斷。

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4、浮點數(shù)的表示：

單精度為例：32位，1位的符號位，8位指數(shù)位（無符號 書上說的實際值是他-127即范圍是-127-128，網(wǎng)上是錯的-128-127），23位的尾數(shù)，因為尾數(shù)小數(shù)點前是1，所以省略，計算時加1.

無窮和除 NaN 以外的其它浮點數(shù)一樣是有序的，從小到大依次為負無窮，負的有窮非零值，正負零（隨后介紹），正的有窮非零值以及正無窮。除 NaN 以外的任何非零值除以零，結(jié)果都將是無窮，而符號則由作為除數(shù)的零的符號決定。

回顧我們對 NaN 的介紹，當零除以零時得到的結(jié)果不是無窮而是 NaN 。原因不難理解，當除數(shù)和被除數(shù)都逼近于零時，其商可能為任何值，所以 IEEE 標準決定此時用 NaN 作為商比較合適。

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5、特殊值：我們已經(jīng)知道，指數(shù)域?qū)嶋H可以表達的指數(shù)值的范圍為 -127 到 128 之間（包含兩端）。其中，值 -127（保存為 全 0）以及 +128（保存為全 1）保留用作特殊值的處理。

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6、非規(guī)范化數(shù)

我們來考察浮點數(shù)的一個特殊情況。選擇兩個絕對值極小的浮點數(shù)，以單精度的二進制浮點數(shù)為例，比如 1.001 × 2^-125?和 1.0001 × 2^-125?這兩個數(shù)（分別對應于十進制的 2.6448623 × 10^-38?和 2.4979255 × 10^-38）。顯然，他們都是普通的浮點數(shù)（指數(shù)為 -125，大于允許的最小值 -126；尾數(shù)更沒問題），按照 IEEE 754 可以分別保存為 00000001000100000000000000000000（0x1100000）和 00000001000010000000000000000000（0x1080000）。

現(xiàn)在我們看看這兩個浮點數(shù)的差值。不難得出，該差值為 0.0001 × 2^-125，表達為規(guī)范浮點數(shù)則為 1.0 × 2^-129。問題在于其指數(shù)大于允許的最小指數(shù)值，所以無法保存為規(guī)范浮點數(shù)。最終，只能近似為零（Flush to Zero）。這中特殊情況意味著下面本來十分可靠的代碼也可能出現(xiàn)問題：

if (x != y) {
z = 1 / (x -y);
}

正如我們精心選擇的兩個浮點數(shù)展現(xiàn)的問題一樣，即使 x 不等于 y，x 和 y 的差值仍然可能絕對值過小，而近似為零，導致除以 0 的情況發(fā)生。

為了解決此類問題，IEEE 標準中引入了非規(guī)范（Denormalized）浮點數(shù)。規(guī)定當浮點數(shù)的指數(shù)為允許的最小指數(shù)值，即?e_min?時，尾數(shù)不必是規(guī)范化的。比如上面例子中的差值可以表達為非規(guī)范的浮點數(shù) 0.001 × 2^-126，其中指數(shù) -126 等于?e_min。注意，這里規(guī)定的是"不必"，這也就意味著"可以"。當浮點數(shù)實際的指數(shù)為?e_min，且指數(shù)域也為?e_min?時，該浮點數(shù)仍是規(guī)范的，也就是說，保存時隱含著一個隱藏的尾數(shù)位。為了保存非規(guī)范浮點數(shù)，IEEE 標準采用了類似處理特殊值零時所采用的辦法，即用特殊的指數(shù)域值?e_min?- 1 加以標記，當然，此時的尾數(shù)域不能為零。這樣，例子中的差值可以保存為 00000000000100000000000000000000（0x100000），沒有隱含的尾數(shù)位。

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7、有符號的零

因為 IEEE 標準的浮點數(shù)格式中，小數(shù)點左側(cè)的 1 是隱藏的，而零顯然需要尾數(shù)必須是零。所以，零也就無法直接用這種格式表達而只能特殊處理。

實際上，零保存為尾數(shù)域為全為 0，指數(shù)域為?e_min?- 1 = -127，也就是說指數(shù)域也全為 0。考慮到符號域的作用，所以存在著兩個零，即 +0 和 -0。不同于正負無窮之間是有序的，IEEE 標準規(guī)定正負零是相等的。

零有正負之分，的確非常容易讓人困惑。這一點是基于數(shù)值分析的多種考慮，經(jīng)利弊權(quán)衡后形成的結(jié)果。有符號的零可以避免運算中，特別是涉及無窮的運算中，符號信息的丟失。舉例而言，如果零無符號，則等式 1/(1/x) = x 當x = ±∞ 時不再成立。原因是如果零無符號，1 和正負無窮的比值為同一個零，然后 1 與 0 的比值為正無窮，符號沒有了。解決這個問題，除非無窮也沒有符號。但是無窮的符號表達了上溢發(fā)生在數(shù)軸的哪一側(cè)，這個信息顯然是不能不要的。零有符號也造成了其它問題，比如當 x=y 時，等式1/x = 1/y 在 x 和 y 分別為 +0 和 -0 時，兩端分別為正無窮和負無窮而不再成立。當然，解決這個問題的另一個思路是和無窮一樣，規(guī)定零也是有序的。但是，如果零是有序的，則即使?if (x==0)?這樣簡單的判斷也由于 x 可能是 ±0 而變得不確定了。兩害取其輕者，零還是無序的好。

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8、NaN

NaN 用于處理計算中出現(xiàn)的錯誤情況，比如 0.0 除以 0.0 或者求負數(shù)的平方根。對于單精度浮點數(shù)，NaN 表示為指數(shù)為?e_max?+ 1 = 128（指數(shù)域全為 1），且尾數(shù)域不等于零的浮點數(shù)。IEEE 標準沒有要求具體的尾數(shù)域，所以 NaN 實際上不是一個，而是一族。

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9、無窮

和 NaN 一樣，特殊值無窮（Infinity）的指數(shù)部分同樣為?e_max?+ 1 = 128，不過無窮的尾數(shù)域必須為零。無窮用于表達計算中產(chǎn)生的上溢（Overflow）問題。比如兩個極大的數(shù)相乘時，盡管兩個操作數(shù)本身可以用保存為浮點數(shù)，但其結(jié)果可能大到無法保存為浮點數(shù)，而必須進行舍入。根據(jù) IEEE 標準，此時不是將結(jié)果舍入為可以保存的最大的浮點數(shù)（因為這個數(shù)可能離實際的結(jié)果相差太遠而毫無意義），而是將其舍入為無窮。對于負數(shù)結(jié)果也是如此，只不過此時舍入為負無窮，也就是說符號域為 1 的無窮。

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?10、尾數(shù)域為不全為 0?e_min?- 1 = -127，指數(shù)域全為 0，不存在，因為可以用非規(guī)范的表示。 ???我的理解。

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11、浮點數(shù)的計算：這種運算通常伴隨著因為無法精確表示而進行的近似或舍入。

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+-：兩浮點數(shù)進行加法和減法的運算規(guī)則是 設 Ex小于等于Ey，則 x±y = (Mx*2^(Ex－Ey)±My)*2^Ey, ?舍入處理

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?http://blog.csdn.net/b2b160/article/details/4492519

http://www.cnblogs.com/kingwolfofsky/archive/2011/07/21/2112299.html

http://baike.baidu.com/view/339796.htm

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/wocgcow/p/5854823.html

總結(jié)

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