$\bf{Lindel?f}$覆蓋定理:假定$A\subseteq \mathbb{R}$,并設(shè)$F$是$A$的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，則存在$F$的可數(shù)子集也覆蓋$A$.

本文給出與數(shù)學(xué)分析(Tom M.Apostol)3.1.10 節(jié)中對(duì)于$\bf{Lindel?f}$覆蓋定理的一個(gè)不同證明方法.

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由于$F$是$A$的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋,因此$\bigcup F$是一個(gè)開(kāi)集(其中$\bigcup F$指的是$F$中所有開(kāi)集的并).根據(jù)開(kāi)集的構(gòu)造,可知可以把$\bigcup F$分解成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間的并.設(shè)這些開(kāi)區(qū)間形成集合$\{A_i:i\in J\}$.然后我們沿用開(kāi)區(qū)間覆蓋的約簡(jiǎn)中的符號(hào).則我們知道,$\forall a\in A$,$a$必被$D\backslash T$覆蓋,且只能被$D\backslash T$中至多兩個(gè)元素覆蓋.易得$D\backslash T$是至多可數(shù)的(怎么證?),因此易得$\{A_i:i\in J\}$是至多可數(shù)的(怎么證?),因此可得存在$F$的可數(shù)子集也覆蓋$A$(為什么?)

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的利用开区间覆盖的约简给出$\bf{Lindelöf}$覆盖定理的一个新证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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