最長公共子序列的問題描述為：

?

　　下面介紹動態規劃的做法。

　　令 dp[i][j]?表示字符串 A?的 i?號位與字符串 B?的?j?號位之前的 LCS?長度（下標從 1?開始），如 dp[4][5]?表示 "sads"?與 “admin"?的 LCS?長度。那么可以根據 A[i]?和 B[j]?的情況，分為兩種決策:

?若 A[i]==B[j]，則字符串 A?與字符串 B?的 LCS?增加了 1?位，即有 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。

?若 A[i] != B[j]，則字符串 A?的 i?號位和字符串B?的 j?號位之前的 LCS?無法延長，因此 dp[i][j]?將會繼承 dp[i-1][j]?與 dp[i][j-1]?中的較大值,即有 dp[i][j]=max{dp[i-1][j], dp[i][j-1]}?！　　　?/span>

　　由此可以得到狀態轉移方程：

　　　　　　　　$dp[i][j]=\left\{\begin{matrix}dp[i-1][j-1]+1,A[i]==B[j]\\ max\left \{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] \right\},A[i]!=B[j]\end{matrix}\right.$

　　邊界：dp[i][0] = dp[0][j] = 0 (0≤i≤n, 0≤j≤m)

　　這樣狀態 dp[i][j]?只與其之前的狀態有關，由邊界出發即可得到整個 dp?數組，最終 dp[n][m]?就是需要的答案，時間復雜度為 O(nm)。

　　代碼如下：

1 /* 2 最長公共子序列（LCS） 3 */ 4 5 #include <stdio.h> 6 #include <string.h> 7 #include <math.h> 8 #include <stdlib.h> 9 #include <time.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define maxn 100 13 char A[maxn], B[maxn]; 14 int dp[maxn][maxn]; 15 16 // 求較大值 17 int max(int a, int b) { 18 return a>b ? a : b; 19 } 20 21 int main() { 22 scanf("%s %s", A+1, B+1); // 從下標為 1 開始輸入 23 int lenA = strlen(A+1); // 讀取長度也從 1 開始 24 int lenB = strlen(B+1); 25 int i, j; 26 for(i=0; i<=lenA; ++i) { // 邊界 27 dp[i][0] = 0; 28 } 29 for(j=0; j<=lenB; ++j) { 30 dp[0][j] = 0; 31 } 32 for(i=1; i<=lenA; ++i) { // 狀態轉移方程 33 for(j=1; j<=lenB; ++j) { 34 if(A[i] == B[j]) { 35 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; 36 } else { 37 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]); 38 } 39 } 40 } 41 printf("%d\n", dp[lenA][lenB]); // dp[lenA][lenB] 是答案 42 43 return 0; 44 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/coderJiebao/p/Algorithmofnotes29.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划——最长公共子序列（LCS）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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