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编程问答

计蒜客NOIP模拟赛(2) D2T2紫色百合

發布時間：2025/5/22 编程问答 23 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了计蒜客NOIP模拟赛(2) D2T2紫色百合小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

【問題描述】

“牽著你的手的是她，路邊開滿了紫色的百合花……”

你從夢中醒來，卻依然忘不了夢中的她百合花，每朵百合花都有一個權值，在二進制下寫成一行‘1’，第i朵紫色百合的權值在二進制下寫成i個‘1’。你想挑出其中一些組成“一束百合花”且價值在二進制下恰好為一個‘1’后面P個‘0’，那么有多少種挑選方案呢？

定義“一束百合花”的價值為這些百合花組成的集合的所有子集的權值乘積的和(空集的權值乘積算1)。如價值為1和3組成的一束百合花價值為1+1+3+1*3=8

【輸入格式】

一行兩個正整數N,P，含義如題目中所示n,p<=100000

【輸出格式】

一個整數代表方案數模 998244353 的結果

【樣例輸入1】

3 3

【樣例輸出1】

【樣例輸入2】

233 666

【樣例輸出2】

572514965

稍稍運用一下數學知識發現題目要求的是選出的集合每個元素+1之后的乘積等于2^P的方案數，取個log就變成了↓

在1~N選若干個數使得總和等于P，求方案數

然后用普通的背包DP可以就拿到60分了

?然后我們發現，由于物品大小是1~N，所以最多選取O(sqrt(P))個物品，背包就滿了

滿分做法可以用狀態f[i][j]表示選i個物品，占容量為j的方案數

由于每個背包是不同的，所以根據已選的最小的物品分類討論一下：

如果最小的物品是1，相當于i-1個物品湊出了j-i的大小，然后整體+1

如果最小的物品不是1，相當于i個物品湊出了j-i的大小，然后整體+1

需要注意我們要防止出現選擇了大小為N+1的物品的情況，所以需要減去

得到遞推式f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i]-f[i-1][j-(N+1)]

時間復雜度O(Nsqrt(N))

1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 typedef long long lol; 7 lol Mod=998244353; 8 int f[451][100011]; 9 lol ans; 10 lol n,p; 11 int main() 12 {lol i,j; 13 cin>>n>>p; 14 f[0][0]=1; 15 for (i=1;i*(i+1)/2<=p;i++) 16 { 17 for (j=i;j<=p;j++) 18 { 19 f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i]; 20 if (j>=(n+1)) f[i][j]-=f[i-1][j-n-1]; 21 if (f[i][j]<0) f[i][j]+=Mod; 22 if (f[i][j]>=Mod) f[i][j]-=Mod; 23 } 24 ans=(ans+f[i][p])%Mod; 25 } 26 cout<<ans%Mod; 27 }