小波變換時20世紀80年代中后期逐漸發展起來的一種數學分析方法，他一出現就受到數學界和工程界的廣泛重視。1984年法國科學家J.Molet在分析地震波的局部特性時，首先用小波變換對信號進行分析，并提出小波這一術語。

小波，小的波形，小是指其具有衰減性，波是指其具有波動性，即小波的振幅具有振幅正負相間的震蕩形式。小波理論采用多分辨率思想，非均勻的劃分時頻空間，它使信號仍能在一組正交基上進行分解，為非平穩信號的分析提供了新途徑。

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小波就是在函數空間的一個滿足條件的函數或者信號。小波分析能夠對函數和信號進行任意指定點處的任意精細結構的分析，同時，這也決定了小波分析在對非平穩信號進行時頻分析時，具有對時頻同時局部化的能力。

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連續小波的時頻窗時時頻平面上一個可變的矩形，他的時頻窗的面積與小波的母函數有關，這一點決定了小波變換在信號的時頻分析中的特殊作用。

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小波分析特點；

小波變換的時頻關系受到不確定性原理的制約。還有恒Q性質，Q為母小波的品質因數。Q=帶寬/中心頻率。

恒Q性質是小波變換的一個重要性質，也是小波變換區別于其他類型的變換，且被廣泛應用的一個重要原因。當用較小的a對信號做高頻分析時，實際上使用高頻小波對信號做細致觀察；而用較大的a對信號做低頻分析時，實際上使用低頻小波對信號做概貌觀察。

小波分析師傅里葉分析的發展和拓展，區別是

1.傅里葉變換用到的基本函數具有唯一性，小波分析用到的函數具有不唯一性，同樣一個問題用不同的小波函數進行分析，有事結果相差甚遠。

2.在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定信號，傅里葉變換可以很容易的把信號表示成各種頻率成分疊加和的形式；但在時域中，傅里葉變換沒有局部化能力，無法從信號的傅里葉變換中看出原信號在任一時間點附近的形態。

3.若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅里葉變換的不同之處在于，對短時傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率，即小波變換對應的濾波器有一個恒定的相對帶寬。

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小波變換的多分辨分析

用照相機鏡頭相對被觀察景物前后退役的比喻關系來粗略的揭示多分辨率概念。這種由粗到細對事物逐級的分析稱為多分辨分析，其特性是由信號的自然特征所決定的。可從兩個角度引入多分辨分析，函數空間的話費分和理想濾波器組。

從理想濾波器組角度看，多分辨分析實質上是將信號按頻帶進行分解，分解方法可以使等頻帶劃分，也可以采用一種二進制分解。每一級分解后信號的頻帶都比前一級減小一半，因此每一級都有一個而抽取環節，他表示對每兩點數據保存一點。

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從信號的分解來看，一次次的分解將原信號分成了一個個具有不同頻帶的子帶信號，若對這些子帶信號各自做DFT，且DFT的長度都一樣，那么每一個子帶信號的頻率分辨率是不一樣的。把這一類將原信號按頻帶分解成一個個自帶喜好的方法稱作“多分辨分析”，引出一下概念

頻率空間的劃分，恒Q性的各帶通空間，各級濾波器的一致性。

從函數空間劃分的角度看，二分的情況下Mallat從函數的多分辨率空間分解概念出發，在小波變換與多分辨分析之間建立起聯系，如果把平方科技的函數看成是某一逐級逼近的極限情況，則沒機逼近都是用某一平滑函數對信號做平滑的結果，只是逐級逼近時平滑函數也做逐級伸縮，即用不同的分辨率來逐級逼近待分析的函數。對于空間，可以找到相應空間的標準正交基，并可以由此構造尺度函數與小波函數。尺度函數和低通濾波器相對應，小波函數和高通濾波器相對應。

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小波變換在語音處理中的應用

小波變換在信號的分析和處理中發揮著重要的作用。利用小波變換對聽覺感知系統進行模擬，對語音信號去噪，進行清、濁音判斷。

小波變換對聽覺系統的模擬：耳蝸濾波器，基底膜完成對信號的分析，毛細胞完成機械振動到電機里的轉換；側抑制網絡完成聲學譜特征的縮減。采用廣義的小波變換，即把小波變換和小波包變換結合使用，以不完全的小波包變換對輸入信號進行處理。小波包算法又靈活的時頻分析能力，可以更好地符合人耳基底膜的頻率分析特征。

用于隨機噪聲的去除基本思想是：根據噪聲與信號在各尺度上的小波譜具有不同表現的特點，將噪聲小波譜占主導地位的那些尺度上的噪聲小波譜分量去掉，這樣保留下來小波普就是原信號的小波譜，然后再利用小波變換重構算法，重構出原信號。小波變換去噪的關鍵是如何濾除有噪聲產生的小波譜分量。連個定理可以體現，隨著尺度的增加，白噪聲的小波譜將逐漸消失，而有效信號的小波變換在大尺度上仍有清晰的表現。通過觀察信號與噪聲小波譜模值隨尺度增加或減小的演變情況，可以區分白噪聲及信號各自產生的變換模值。

用于濁音和清音的判斷

低頻描述輪廓，相當于信號經過低通濾波器，高頻描述細節，相當于喜好經過高通濾波器。根據語音信號短時平穩特點，首先對語音信號分幀進行小波變換，將小波域的系數平均分為4個頻帶，計算每個頻帶的平均能量。滿足在小波域中的最高頻帶的能量比其他頻帶的能量大，最低頻帶的能量和最高頻帶的能量比小于0.9，則認為這段語音信號為清音。

小波變換還可用于動態頻譜分析。用作特征提取的手段。

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總結

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