作者：石飛宇 王孟鴻

北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院

摘 要

對(duì)工業(yè)建筑屋面支撐噸位較大設(shè)備的鋼梁，為避免造成支座梁產(chǎn)生較大扭矩，設(shè)備梁往往采用簡支梁的設(shè)計(jì)方案，釋放支座兩端彎矩。按常規(guī)設(shè)計(jì)確定屋面設(shè)備鋼梁截面，采用Monte Carlo方法計(jì)算此類型屋面簡支鋼梁在超強(qiáng)意外雪荷載作用下的失效概率。結(jié)果表明：Monte Carlo法計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率值不穩(wěn)定，失效概率會(huì)隨著隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的不同而不一致，但數(shù)量級(jí)是一定的，只要樣本值足夠多，采用Monte Carlo法計(jì)算得到的失效概率精度就能滿足設(shè)計(jì)要求，同時(shí)也可以作為其他計(jì)算失效概率方法的校核手段。重型設(shè)備承重梁對(duì)雪荷載的波動(dòng)不敏感，采用常規(guī)設(shè)計(jì)法確定的簡支鋼梁截面在超強(qiáng)意外雪荷載作用下其可靠度可以滿足相關(guān)規(guī)范要求，但對(duì)常年下雪區(qū)域，設(shè)計(jì)工業(yè)建筑屋面設(shè)備梁時(shí)，建議其應(yīng)力比應(yīng)依據(jù)設(shè)備重要性適當(dāng)下調(diào)。

工業(yè)建筑時(shí)常存在這樣的情況：為滿足工藝設(shè)計(jì)要求而把質(zhì)量較大的設(shè)備安置在結(jié)構(gòu)頂部。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)為避免框架梁產(chǎn)生較大扭矩，常規(guī)設(shè)計(jì)中將設(shè)備梁兩端按鉸接設(shè)計(jì)。

簡支梁設(shè)計(jì)方案能釋放掉大質(zhì)量設(shè)備產(chǎn)生的大彎矩，避免支座框架梁扭矩過大而使設(shè)計(jì)驗(yàn)算無法通過。但由此帶來的問題是設(shè)備梁超靜定次數(shù)減少，在遭遇超強(qiáng)意外荷載時(shí)可靠度下降。

基于此，本文開展的工作是研究設(shè)備梁按簡支梁設(shè)計(jì)在遭遇超強(qiáng)非高斯分布雪荷載時(shí)，其可靠度能否滿足GB 50068—2001《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》的要求。

Vasileios G等采用基于準(zhǔn)Monte Carlo(QMC)的方法研究非線性振動(dòng)體系在非正態(tài)分布荷載作用下的可靠度。劉波等基于虛功原理和車橋位移協(xié)調(diào)方程分析連續(xù)梁在低速車輛超強(qiáng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)以及可靠度，建立車橋耦合振動(dòng)模型。張延年等針對(duì)遼寧省氣象局提供的1951—2007年遼寧各個(gè)城市的降雪資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，側(cè)面反映了規(guī)范中基本雪壓取值偏小，建議修訂時(shí)適當(dāng)提高。本文驗(yàn)算簡支梁構(gòu)件截面時(shí)采用的雪荷載取值為GB 50009—2012《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》中提供的遼寧省沈陽市的基本雪壓。南波的研究工作也表明GB 50009—2012中部分城市雪荷載取值偏小，時(shí)常存在超強(qiáng)雪荷載，這使得研究這種正態(tài)分布荷載作用下構(gòu)件和體系的可靠度成為必要。范峰等研究中國規(guī)范與美國規(guī)范、加拿大規(guī)范以及歐盟規(guī)范中雪荷載的差異，說明我國雪荷載的計(jì)算式偏于簡單，對(duì)雪荷載的影響考慮不全面。李忠獻(xiàn)等基于Monte Carlo方法研究鋼梁在爆炸荷載作用下的可靠度與失效概率。趙欣欣通過試驗(yàn)研究證實(shí)鋼筋和鋼板的屈服強(qiáng)度等物理力學(xué)性能近似服從正態(tài)分布(高斯分布)。張德生采用Matlab編制基于Monte Carlo法的計(jì)算程序，用數(shù)值模擬辦法對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行分析。姚繼濤等考慮時(shí)間效應(yīng)，將既有結(jié)構(gòu)抗力看作是隨機(jī)變量，采用擬建結(jié)構(gòu)抗力的概率模型建立既有結(jié)構(gòu)抗力的概率模型。

綜上所述，工業(yè)建筑遭遇超強(qiáng)雪荷載的可能性較大，而當(dāng)前關(guān)于常年降雪區(qū)域設(shè)備梁在遭遇超強(qiáng)意外雪荷載的失效概率與可靠度方面的研究較少。

1

雪荷載的統(tǒng)計(jì)分布

GB 50009—2012條文說明指出，規(guī)范中所取雪荷載的年最大雪壓的概率分布統(tǒng)一按極值I型考慮。

文獻(xiàn)通過對(duì)遼寧省幾個(gè)城市的雪荷載進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，然后采用K-S(Kolmogorov-Smirnov)檢驗(yàn)法證明遼寧省的幾個(gè)主要城市(含沈陽市在內(nèi))的年最大雪壓值均服從極值I型分布。

此外，相關(guān)文獻(xiàn)中還給出了沈陽市雪荷載服從極值I型概率分布的均值μ為0.7595 kN/m2，標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.17525 kN/m2。

2

超強(qiáng)意外雪荷載的隨機(jī)模擬

極值I型分布函數(shù)為：

f(x)=exp{-exp[-α(x-β)]}

(1)

其中

一般計(jì)算機(jī)程序都可以產(chǎn)生服從[0,1]上的均勻分布隨機(jī)數(shù)ri(第i個(gè)樣本值)。則令：

f(x)=exp{-exp[-α(x-β)]}=ri

(2)

通過求逆函數(shù)可以獲得服從極值I型分布的雪荷載樣本值為：

(3)

將α和β的數(shù)值代入式(3)得：

(4)

沈陽市雪荷載的實(shí)際統(tǒng)計(jì)值明顯大于規(guī)范給定雪荷載大小。利用沈陽市雪荷載的均值和標(biāo)準(zhǔn)差(取兩位有效數(shù)字)，編制Matlab程序，生成超強(qiáng)意外雪荷載的樣本值。

程序生成了1 000 000個(gè)服從均值為 0.76 kN/m2、標(biāo)準(zhǔn)差為0.18 kN/m2的極值Ⅰ型分布的雪荷載樣本值。圖1為隨機(jī)雪荷載樣本值的頻數(shù)分布直方圖，可以看出：生成的隨機(jī)數(shù)滿足極值I型分布，可以用來模擬超強(qiáng)意外雪荷載作用于結(jié)構(gòu)構(gòu)件。

圖1 雪荷載頻數(shù)分布直方圖

3

屋面簡支鋼梁設(shè)計(jì)

3.1?案例背景介紹

假設(shè)某煤制油項(xiàng)目，為滿足工藝要求，需將某臥式容器放置在鋼框架頂部。平面布置見圖2。

圖2 梁平面布置

該臥式容器設(shè)備有兩個(gè)支座，支座之間的距離為4 m，采用螺栓固定在屋面鋼梁上。設(shè)備含介質(zhì)總質(zhì)量50 t。該地區(qū)基本雪壓為0.5 kN/m2(50年一遇)。不上人屋面鋪設(shè)花紋鋼板，鋼板荷載也按0.5 kN/m2考慮。

設(shè)計(jì)該屋面支撐設(shè)備的鋼梁時(shí)，由于設(shè)備的約束，且該梁面外有必要的水平支撐，故可以不考慮其面外失穩(wěn)問題，只需驗(yàn)算其面內(nèi)抗彎強(qiáng)度、抗剪強(qiáng)度以及正常使用極限狀態(tài)下?lián)隙仁欠駶M足要求即可。同時(shí)，為避免框架梁產(chǎn)生過大扭矩，該鋼梁按兩端鉸接設(shè)計(jì)。

3.2?計(jì)算簡圖

支撐設(shè)備的兩根屋面鋼梁處于對(duì)稱狀態(tài)，受力一致，因此在分析時(shí)只需單獨(dú)計(jì)算其中一根鋼梁。為計(jì)算簡便同時(shí)考慮受力明確，假定荷載先沿短邊傳遞給次梁，再由次梁傳遞到主梁。因此該鋼梁受到板面?zhèn)鬟f的荷載鋼梁受到的雪荷載鋼梁受到的設(shè)備集中荷載

該鋼梁的計(jì)算簡圖見圖3。在進(jìn)行構(gòu)件強(qiáng)度與撓度驗(yàn)算之前，首先假定構(gòu)件截面尺寸，多次驗(yàn)算之后再確定最佳截面設(shè)計(jì)尺寸。驗(yàn)算構(gòu)件型號(hào)及其物理屬性參數(shù)見表1、表2。

a—恒載作用；b—活載作用。
圖3 設(shè)備梁計(jì)算簡圖

表1 驗(yàn)算構(gòu)件截面? ? mm

注：?H為梁高；B為梁寬；tw為腹板厚度；tf為翼緣厚度;r為轉(zhuǎn)角半徑。

表2 驗(yàn)算構(gòu)件屬性

注：?I為慣性矩;W為抵抗矩;G為單位長度質(zhì)量;A為截面面積。

3.3?強(qiáng)度驗(yàn)算

構(gòu)件強(qiáng)度驗(yàn)算是一個(gè)反復(fù)的過程，每一次更換不滿足要求的構(gòu)件截面都要重新計(jì)算構(gòu)件自重，使得計(jì)算變得繁雜，因此編制Matlab計(jì)算程序會(huì)使得驗(yàn)算過程變得簡單。

表1給出的構(gòu)件截面為最終驗(yàn)算的結(jié)果，利用計(jì)算簡圖及表2數(shù)據(jù)編制驗(yàn)算程序。

由計(jì)算結(jié)果可知，鋼梁抗彎承載力滿足要求。經(jīng)驗(yàn)算，構(gòu)件抗剪強(qiáng)度也滿足要求。一般情況下，梁構(gòu)件主要是受彎，剪力一般不會(huì)超過梁構(gòu)件的抗剪強(qiáng)度。因此，所選構(gòu)件HN550×210滿足設(shè)計(jì)要求。

4

承載能力極限狀態(tài)鋼梁失效概率

4.1?Monte Carlo法簡介

本文將采用Monte Carlo法計(jì)算屋面鋼梁在超強(qiáng)意外雪荷載作用下的失效概率。

Monte Carlo法是一種概率方法。其中心思想為通過計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一系列滿足影響構(gòu)件功能函數(shù)的隨機(jī)變量的隨機(jī)數(shù)(樣本值)，將樣本值代入到功能函數(shù)中，記錄使得功能函數(shù)值小于零的樣本值個(gè)數(shù)，用該樣本值個(gè)數(shù)除以總的隨機(jī)數(shù)數(shù)目，得到的結(jié)果為構(gòu)件失效的頻率。依據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)樣本值趨于無窮時(shí)，隨機(jī)變量的頻率收斂于其概率。也就是說，只要產(chǎn)生足夠多的隨機(jī)數(shù)，采用Monte Carlo法計(jì)算得到的數(shù)值就可以用來近似代替構(gòu)件的失效概率。

Monte Carlo法操作簡單，計(jì)算簡便。加上當(dāng)前普通個(gè)人計(jì)算機(jī)的計(jì)算性能也大大提高了，生成大量隨機(jī)數(shù)僅是數(shù)秒之內(nèi)的事。因此，計(jì)算步驟多，隨機(jī)數(shù)樣本巨大等問題已經(jīng)不再是阻礙人們采用Monte Carlo法來進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析的因素了。盡管采用Monte Carlo法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)失效概率精度較低，但是只要樣本值足夠多，還是能夠保證得到合理的結(jié)果，同時(shí)可以作為驗(yàn)證其他方法計(jì)算失效概率的手段。

4.2?超強(qiáng)意外雪荷載作用下鋼梁的失效概率

從第1節(jié)的討論可知，雪荷載服從極值I型分布，利用第2節(jié)生成的1 000 000個(gè)服從極值I型分布的雪荷載樣本值計(jì)算第3節(jié)設(shè)計(jì)的屋面設(shè)備鋼梁的失效概率，但此處為體現(xiàn)雪荷載的超強(qiáng)性與偶遇性，程序采用的雪荷載均值為沈陽市實(shí)際統(tǒng)計(jì)雪荷載均值的2倍，即1.519 kN/m2(=0.759 5×2)，標(biāo)準(zhǔn)差還是采用實(shí)際統(tǒng)計(jì)獲得的數(shù)值。

對(duì)于已經(jīng)設(shè)計(jì)好的鋼梁，其抗力值是確定的。但從長遠(yuǎn)來看，其抗力應(yīng)該也是屬于隨機(jī)變量。為簡化計(jì)算，本文假定鋼梁后期維護(hù)較好，其抗力不隨時(shí)間發(fā)生顯著變化。因此，鋼梁功能函數(shù)可以表達(dá)為：

(5)

式中：g為鋼梁重力分布力；qf為屋面?zhèn)鬟f分布荷載；L為鋼梁跨度；F為梁上集中力；qs為分布雪荷載；f為梁抗力；W為梁截面抵抗矩。

編制Matlab計(jì)算程序，使得功能函數(shù)小于0，即得到結(jié)構(gòu)構(gòu)件失效的樣本值，進(jìn)而計(jì)算鋼梁構(gòu)件的失效概率。

5

計(jì)算結(jié)果分析

本文設(shè)計(jì)的鋼梁在超強(qiáng)偶遇雪荷載(均值為1.519 kN/m2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.17525 kN/m2)作用下的失效概率為。由于Monte Carlo法是采用計(jì)算機(jī)生成隨機(jī)數(shù)(樣本值)的方法計(jì)算，每次生成的隨機(jī)數(shù)都不一樣，計(jì)算得到的鋼梁失效概率也會(huì)有相應(yīng)的區(qū)別。經(jīng)過多次試算發(fā)現(xiàn)，盡管每次計(jì)算的鋼梁失效概率都不相同，但數(shù)量級(jí)都是一樣的。

由定義可知，結(jié)構(gòu)失效概率和可靠度指標(biāo)存在如下關(guān)系：

pf=Φ(-β)

(6)

式中：pf為失效概率；β為可靠度指標(biāo)；Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。通過求解反函數(shù)可得：

(7)

因此，本文設(shè)計(jì)的屋面鋼梁的可靠指標(biāo)采用式(7)計(jì)算，結(jié)果為4.224。

本次設(shè)計(jì)的設(shè)備屋面鋼梁安全等級(jí)依據(jù)設(shè)備重要性定為一級(jí)，采用Q235鋼，延性設(shè)計(jì)。由計(jì)算結(jié)果可知，該鋼梁在遭遇超強(qiáng)偶遇雪荷載時(shí)的可靠指標(biāo)為4.224，對(duì)比表3結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載能力極限狀態(tài)的可靠指標(biāo)可知，該鋼梁滿足GB 50068—2001可靠性要求。

表3 結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載能力極限狀態(tài)的可靠指標(biāo)

6

結(jié) 論

1)Monte Carlo法計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率值不穩(wěn)定，失效概率會(huì)隨著隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的不同而不同，但數(shù)量級(jí)是一定的。只要樣本值足夠多，采用Monte Carlo法計(jì)算得到的失效概率精度就能滿足設(shè)計(jì)要求，同時(shí)也可以作為其他計(jì)算失效概率方法的校核手段。

2)重型設(shè)備承重梁對(duì)雪荷載的波動(dòng)不敏感，采用常規(guī)設(shè)計(jì)法計(jì)算的構(gòu)件可靠度在遭遇超強(qiáng)偶遇雪荷載情況下仍滿足GB 50068—2001要求。

3)本文并未將結(jié)構(gòu)抗力作為隨機(jī)變量計(jì)算構(gòu)件可靠度，考慮到時(shí)間效應(yīng)，構(gòu)件抗力也是一個(gè)隨機(jī)變量，會(huì)影響構(gòu)件可靠度。建議設(shè)計(jì)重型設(shè)備承重梁時(shí)，應(yīng)根據(jù)設(shè)備重要性適當(dāng)降低應(yīng)力比。

4)設(shè)計(jì)設(shè)備承重梁時(shí)，光承載極限狀態(tài)下可靠度滿足要求還不夠，實(shí)際設(shè)計(jì)中還應(yīng)考慮其正常使用極限狀態(tài)下的可靠度。

來源：石飛宇, 王孟鴻. 屋面鋼梁在超強(qiáng)意外雪荷載作用下的失效概率[J]. 鋼結(jié)構(gòu), 2019, 34(8): 17-20.

doi: 10.13206/j.gjg201908003

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總結(jié)

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