fmincon 函數

? 功能：求多變量有約束非線性函數的最小值。

? 數學模型：

? min F(X)

? subject to: A*X <= B, Aeq*X = Beq (線性約束)

C(X) <= 0, Ceq(X) = 0 (非線性約束)

LB <= X <= UB

其中，X, B, Beq, LB,和UB為向量，A 和Aeq 為矩陣，C(X)

和Ceq(X)為函數，返回標量。f(x), c(x), 和ceq(x)可以是非線性

函數。

? 調用格式：

[x,fval,exitflag,output]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,non

lcon,options)

Fval：目標函數在解X處的目標函數值

Exitflag：返回算法終止的狀態指示結構變量

Output ：優化計算結束之時返回結構變量

由于本問題中需要優化的變量只有兩個，屬于中等規模

優化問題。fmincon命令使用序列二次規劃算法(SQP )來求

解。序列二次規劃方法是將一個帶有等式和不等式約束(可

以是非線性)的非線性優化問題轉化為二次規劃問題求解。

對于中等規模優化問題，求解二次規劃問題涉及到

Hessian矩陣。Hessian矩陣的近似計算是通過擬牛頓法得到的，

擬牛頓法提供了兩個公式可用于Hessian矩陣(或其逆)的迭

代：BFGS公式和DFP公式，而初始的Hessian矩陣是任意給的，

如給一個單位陣I。

MATLAB中SQP法的實現分三步，即

? 拉格朗日函數Hessian矩陣的更新；

? 二次規劃問題求解；

? 一維搜索和目標函數的計算

序列二次規劃(SQP)算法

? 序列二次規劃(Sequential Quadratic Programming,簡稱SQP)

是當前公認的處理中、小規模非線性規劃問題最優秀的算

法之一, 該算法通過將原問題轉化為一系列二次規劃子問

題的求解來獲得原問題的最優解,對拉格朗日函數取二次近

似,從而提高二次規劃子問題的近似程度, 對非線性較強的

優化問題也能進行計算。

? SQP方法的基本思想如下:在某個近似解處將原非線性規劃

問題簡化為處理一個二次規劃問題,求取最優解,如果有,則

認為是原非線性規劃問題的最優解, 否則, 用近似解代替構

成一個新的二次規劃問題, 繼續迭代。

? Matlab 優化工具箱中SQP算法的實現主要由以下三部分組成。

(1)更新拉格朗日函數的Hessian矩陣

q q T H T H

Hk ?1 Hk ?? k k ? k k (5)

q T s s T H s

k k k k k

? 式中:

m m

q ??f (x ) ? ??g (x ) ??[ f (x ) ? ??g (x )]

k k ?1 ? i i k ?1 k ? i i k

i 1 i 1

s x ??x

k k ?1 k

? 在每一次的迭代中, 采用BFGS 方法計算拉格朗日函數的

Hessian 矩陣的正定擬牛頓近似值H。只要保證為正,并且H初始

化為正定矩陣,則Hessian矩陣一直保持正定。

1 T T

min q (d ) d Hd ??c d (6)

d ?Rn 2

總結

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