“?該材料包括卡爾曼濾波的基本技術(shù)背景和更實(shí)際的應(yīng)用方面：如何在數(shù)學(xué)模型中表示問(wèn)題，分析系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)函數(shù)的估計(jì)器性能，在數(shù)值穩(wěn)定算法中實(shí)現(xiàn)力學(xué)方程，評(píng)估其性能計(jì)算要求，測(cè)試結(jié)果的有效性，監(jiān)控濾波器的運(yùn)行性能。”

01

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首先：什么是卡爾曼濾波器？

理論上，它被稱為線性最小均方估計(jì)(LLSME)，因?yàn)樗咕€性隨機(jī)系統(tǒng)的均方估計(jì)誤差最小化。它也被稱為線性二次估計(jì)器(LQE)，因?yàn)樗箿y(cè)量白噪聲和干擾噪聲的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的估計(jì)誤差的二次函數(shù)最小化。直到今天，它的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)過(guò)去了半個(gè)多世紀(jì)，它仍然是估計(jì)理論史上一個(gè)獨(dú)特的成就。它是隨機(jī)系統(tǒng)實(shí)時(shí)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題的唯一一個(gè)實(shí)用的有限維解，除了具有有限平均值和第二中心矩(協(xié)方差)外，它對(duì)潛在概率分布的假設(shè)很少。它的數(shù)學(xué)模型有一系列的重要應(yīng)用，包括噪聲測(cè)量，為了估計(jì)具有少于可預(yù)測(cè)干擾的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)。盡管已經(jīng)發(fā)展了許多近似方法來(lái)將其應(yīng)用擴(kuò)展到非線性問(wèn)題，并且?guī)资陙?lái)致力于將其推廣到非線性應(yīng)用中，但是對(duì)于非線性問(wèn)題還沒(méi)有找到類似的一般解。

實(shí)際上，Kalman濾波器是數(shù)學(xué)工程的重大發(fā)現(xiàn)之一，它用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決工程問(wèn)題，就像用數(shù)學(xué)物理來(lái)解決物理問(wèn)題，或者用計(jì)算數(shù)學(xué)來(lái)解決計(jì)算機(jī)應(yīng)用中的效率和精度問(wèn)題一樣。它最直接的應(yīng)用是監(jiān)測(cè)和控制復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如連續(xù)制造過(guò)程、飛機(jī)、船舶或航天器。要控制一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，首先必須知道它在做什么。對(duì)于這些應(yīng)用，并不總是能夠測(cè)量您想要控制的每個(gè)變量，而Kalman濾波器提供了間接和從噪聲測(cè)量中推斷未測(cè)量變量的數(shù)學(xué)框架。Kalman濾波器還用于預(yù)測(cè)人們不太可能控制的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的未來(lái)可能的走向，例如洪水期間河流的流量、天體的軌跡或交易商品和證券的價(jià)格。它已成為一種通用工具，用于將不同的傳感器和/或數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)集成到一個(gè)整體最優(yōu)的解決方案中。

另一個(gè)額外的好處是，Kalman濾波模型可以作為一種工具，用于評(píng)估動(dòng)態(tài)系統(tǒng)軌跡可能的場(chǎng)景下替代傳感器系統(tǒng)設(shè)計(jì)的相對(duì)精度。沒(méi)有這種能力，許多復(fù)雜的傳感器系統(tǒng)(包括全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng))的開(kāi)發(fā)就不可能實(shí)現(xiàn)。

從實(shí)際的角度來(lái)看，本書將呈現(xiàn)以下觀點(diǎn)：

• 它只是一種工具。它本身并不能解決任何問(wèn)題，盡管它可以使你做起來(lái)更容易。它不是物理工具，而是數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)工具使腦力勞動(dòng)更有效率，正如機(jī)械工具使體力勞動(dòng)更有效率一樣。與任何工具一樣，在有效地應(yīng)用它之前，了解它的用途和功能是很重要的。這本書的目的是使你充分熟悉和熟練使用卡爾曼濾波器，你可以正確和有效地應(yīng)用它。

• 它是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序。它被認(rèn)為“非常適合在數(shù)字計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)”，部分原因是它使用有限數(shù)量的變量來(lái)表示估計(jì)問(wèn)題。然而，它確實(shí)假設(shè)這些變量是具有無(wú)限精度的實(shí)數(shù)。它在使用中遇到的一些問(wèn)題來(lái)自于有限維和有限信息的區(qū)別以及“有限”和“可管理”問(wèn)題大小的區(qū)別。這些都是Kalman濾波在實(shí)際應(yīng)用中必須與理論一起考慮的問(wèn)題。

• 它是一個(gè)估計(jì)問(wèn)題的一致統(tǒng)計(jì)特征。它不僅僅是一個(gè)估計(jì)器，因?yàn)樗鼈鞑?dòng)態(tài)系統(tǒng)的當(dāng)前知識(shí)狀態(tài)，包括由隨機(jī)動(dòng)態(tài)擾動(dòng)和傳感器噪聲引起的均方不確定性。這些特性對(duì)于傳感器系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析和預(yù)測(cè)設(shè)計(jì)非常有用。

02

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它是如何被稱為過(guò)濾器的

過(guò)濾器這一術(shù)語(yǔ)應(yīng)用于估計(jì)器似乎有些奇怪。更常見(jiàn)的是，過(guò)濾器是去除混合物中不需要的部分的物理裝置。(felt一詞來(lái)源于中世紀(jì)拉丁語(yǔ)詞干，用于表示用作液體過(guò)濾器的材料。)最初，過(guò)濾器解決了分離液體-固體混合物中不需要的成分的問(wèn)題。在水晶收音機(jī)和真空管的時(shí)代，這個(gè)術(shù)語(yǔ)被用于模擬電路“過(guò)濾”電子信號(hào)。這些信號(hào)是不同頻率成分的混合物，這些物理設(shè)備優(yōu)先衰減不需要的頻率。

這一概念在20世紀(jì)30年代和40年代被擴(kuò)展到“信號(hào)”與“噪聲”的分離，兩者都以其功率譜密度為特征。Kolmogorov和wiener利用概率分布的統(tǒng)計(jì)特性，在給定信號(hào)和噪聲之和的情況下，形成信號(hào)的最優(yōu)估計(jì)。

在Kalman濾波中，這個(gè)詞的含義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了分離混合物成分的最初想法。它還包括了一個(gè)反演問(wèn)題的解，在這個(gè)問(wèn)題中，人們知道如何將可測(cè)量的變量表示為主要關(guān)心的變量的函數(shù)。本質(zhì)上，它顛倒了這種函數(shù)關(guān)系，并將自變量估計(jì)為因變量(可測(cè)量)的逆函數(shù)。這些感興趣的變量也可以是動(dòng)態(tài)的，其動(dòng)態(tài)性只能部分預(yù)測(cè)。

它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

圖1.1描述了構(gòu)成卡爾曼濾波理論基礎(chǔ)的基本主題。盡管這表明Kalman濾波是金字塔的頂點(diǎn)，但它本身只是另一門學(xué)科“現(xiàn)代”控制理論和統(tǒng)計(jì)決策理論的一部分基礎(chǔ)。在這本書中，我們將只考察金字塔的前三層，以及一些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

圖1.1 卡爾曼濾波的基本概念

它的用途是什么

Kalman濾波的應(yīng)用涉及很多領(lǐng)域，但它作為一種工具的用途幾乎只限于兩個(gè)目的：估計(jì)和估計(jì)量的性能分析。

• 估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。什么是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)？幾乎所有的東西，如果你挑剔的話。除了一些基本的物理常數(shù)外，宇宙中幾乎沒(méi)有任何東西是真正恒定的。矮行星谷神星的軌道參數(shù)不是恒定不變的，甚至“固定”的恒星和大陸也在移動(dòng)。幾乎所有的物理系統(tǒng)在某種程度上都是動(dòng)態(tài)的。如果一個(gè)人想要非常精確地估計(jì)它們隨時(shí)間變化的特征，那么就必須考慮它們的動(dòng)態(tài)。問(wèn)題是，人們也不總是非常精確地了解它們的動(dòng)態(tài)。考慮到這種部分無(wú)知的狀態(tài)，最好的辦法就是用概率更精確地表達(dá)我們的無(wú)知。Kalman濾波器允許我們利用這些統(tǒng)計(jì)信息來(lái)估計(jì)具有某種隨機(jī)行為的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。表1.1的第二列列出了一些此類系統(tǒng)的例子。

• 估計(jì)系統(tǒng)的性能分析。表1.1的第三列列出了一些可能用于估計(jì)相應(yīng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的傳感器類型。設(shè)計(jì)分析的目的是確定在給定的一組性能標(biāo)準(zhǔn)下如何最好地使用這些傳感器類型。這些標(biāo)準(zhǔn)通常與估算精度和系統(tǒng)成本有關(guān)。

表1.1?估計(jì)問(wèn)題示例

應(yīng)用	動(dòng)態(tài)系統(tǒng)	傳感器類型
過(guò)程控制	化工廠	壓力
		溫度
		流量
		氣體分析儀
洪水預(yù)測(cè)	河流系統(tǒng)	水位
		雨量計(jì)
		氣象雷達(dá)
跟蹤	航天器	雷達(dá)
		成像系統(tǒng)
導(dǎo)航	船	六分儀
		日志
		陀螺儀
		加速度計(jì)
		全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)接收機(jī)

Kalman濾波器在確定最佳濾波增益時(shí)使用其估計(jì)誤差概率分布的參數(shù)表征，并且這些參數(shù)可用于評(píng)估其作為估計(jì)系統(tǒng)“設(shè)計(jì)參數(shù)”的函數(shù)的性能，例如

• 使用的傳感器類型；

• 與待估計(jì)系統(tǒng)有關(guān)的各種傳感器類型的位置和方向；

• 傳感器的允許噪聲特性；

• 平滑傳感器噪聲的預(yù)濾波方法；

• 各種傳感器類型的數(shù)據(jù)采樣率，以及

• 簡(jiǎn)化模型以減少實(shí)現(xiàn)需求的級(jí)別。

Kalman濾波器形式的分析能力還允許系統(tǒng)設(shè)計(jì)者為估計(jì)系統(tǒng)的子系統(tǒng)分配“誤差預(yù)算”，并在預(yù)算分配中進(jìn)行權(quán)衡，以優(yōu)化成本或其他性能指標(biāo)，同時(shí)達(dá)到所需的估計(jì)精度水平。

03

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關(guān)于最優(yōu)估計(jì)方法

Kalman濾波器是幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)許多有創(chuàng)造性的思想者的思想演變過(guò)程的結(jié)果。我們?cè)谶@里展示了這個(gè)過(guò)程中的一些開(kāi)創(chuàng)性的想法，它們的發(fā)現(xiàn)者在圖1.2中以歷史的視角列出。這份清單絕不是詳盡無(wú)遺的。涉及到的人太多了，無(wú)法全部展示出來(lái)，但這個(gè)數(shù)字應(yīng)該能讓人對(duì)所涉及的時(shí)間段有所了解。這個(gè)數(shù)字只覆蓋了500年，數(shù)學(xué)概念的研究和發(fā)展可以追溯到歷史之外。對(duì)最優(yōu)估計(jì)更詳細(xì)的歷史感興趣的讀者可以參考Kailath、Lainiotis、Mendel和Gieseking和Sorenson的調(diào)查文章以及Battin和Schmidt的個(gè)人成果。

圖1.2 估算技術(shù)的一些重要貢獻(xiàn)者的時(shí)間線

最優(yōu)估計(jì)理論的發(fā)展

從噪聲數(shù)據(jù)中形成最優(yōu)估計(jì)的第一種方法是最小二乘法。它通常認(rèn)為是卡爾·弗里德里希·高斯(1777-1855)于1795年發(fā)現(xiàn)的。測(cè)量誤差的不可避免性自伽利略時(shí)代(1564-1642)就已被認(rèn)識(shí)到，但這是第一個(gè)處理測(cè)量誤差的正式方法。雖然它更常用于線性估計(jì)問(wèn)題，但高斯首先將其用于數(shù)學(xué)天文學(xué)中的非線性估計(jì)問(wèn)題，這是天文學(xué)史上一個(gè)有趣的事件。

1801年1月1日，十九世紀(jì)的第一天，意大利天文學(xué)家朱塞佩·皮亞齊正在檢查星表中的一個(gè)條目。皮亞齊不知道，它存在一個(gè)打印錯(cuò)誤。在尋找那顆“失蹤”的恒星時(shí)，皮亞齊卻發(fā)現(xiàn)了一些移動(dòng)的東西。它是“矮行星”谷神星——小行星帶中最大的天體，也是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的天體，但皮亞齊還不知道這一點(diǎn)。他能夠在41個(gè)晚上跟蹤和測(cè)量它在“固定”恒星背景下的明顯運(yùn)動(dòng)，直到它離太陽(yáng)太近而消失。

1月24日，皮亞齊把他的發(fā)現(xiàn)寫信給約翰·博德。博德最為人所知的是博德定律，它指出行星到太陽(yáng)的距離，以天文單位表示，是由序列給出的

事實(shí)上，1772年第一次提出這個(gè)公式的不是伯德，而是約翰蒂茨。那時(shí)，只有六顆已知的行星。1781年，弗里德里希·赫歇爾發(fā)現(xiàn)了天王星，它很好地符合n=6的公式。當(dāng)n=3時(shí)還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)行星。在博德的推動(dòng)下，一個(gè)歐洲天文學(xué)家協(xié)會(huì)已經(jīng)尋找“失蹤”的第八顆行星近30年。皮亞齊不是這個(gè)協(xié)會(huì)的一員，但他確實(shí)告訴了博德他的意外發(fā)現(xiàn)。

皮亞齊的信直到3月20日才到達(dá)博德那里。博德懷疑皮亞齊的發(fā)現(xiàn)可能是失蹤的行星，但是沒(méi)有足夠的數(shù)據(jù)來(lái)確定它的軌道元素。這是非線性方程組中的一個(gè)問(wèn)題，牛頓本人曾宣稱這是數(shù)學(xué)天文學(xué)中最困難的問(wèn)題之一。沒(méi)有人解決它，結(jié)果谷神星又在太空中迷失了方向。

皮亞齊的發(fā)現(xiàn)直到1801年秋天才發(fā)表。在新世紀(jì)開(kāi)始之際，一顆新行星可能被發(fā)現(xiàn)并隨之消失，這是一個(gè)令人興奮的消息。它與一個(gè)哲學(xué)上的理由相矛盾，即只有七顆行星存在于谷神星之前，這個(gè)數(shù)字是由受人尊敬的哲學(xué)家格奧爾格·黑格爾等人所捍衛(wèi)的。黑格爾最近出版了一本書，他在書中斥責(zé)天文學(xué)家浪費(fèi)時(shí)間尋找第八顆行星，而當(dāng)時(shí)有充分的哲學(xué)理由證明只有七顆。這個(gè)新天體幾乎成了各地知識(shí)界討論的話題。幸運(yùn)的是，這個(gè)問(wèn)題引起了哥廷根大學(xué)一位名叫卡爾·弗里德里希·高斯的24歲數(shù)學(xué)家的注意。

幾周前，高斯曾嘗試過(guò)軌道確定的問(wèn)題，但為了其他事情，他把它放在一邊。現(xiàn)在他把大部分時(shí)間都花在這個(gè)問(wèn)題上，在12月對(duì)谷神星的軌道進(jìn)行了估計(jì)，并把他的結(jié)果發(fā)送給皮亞齊。這顆新的“行星”(后來(lái)被重新歸類為小行星)在今年的第一天被發(fā)現(xiàn)，在今年的最后一天，它的發(fā)現(xiàn)者再次發(fā)現(xiàn)了它。

高斯直到1809年才發(fā)表他的軌道測(cè)定方法。在這本出版物中，他還描述了他在1795年18歲時(shí)發(fā)現(xiàn)的最小二乘法，并用它來(lái)改進(jìn)他對(duì)谷神星軌道的估計(jì)。

盡管谷神星在發(fā)現(xiàn)的歷史上扮演了重要的角色，而且它仍然定期出現(xiàn)在夜空中，但它作為一個(gè)挑戰(zhàn)智力興趣的對(duì)象已經(jīng)逐漸淡出人們的視線，直到2007年發(fā)射了科學(xué)探測(cè)器“黎明”號(hào)，并于2015年與谷神星會(huì)合。另一方面，最小二乘法自提出以來(lái)，一直是幾代科學(xué)家和技術(shù)人員研究和應(yīng)用的對(duì)象。它對(duì)科學(xué)史產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。它是第一個(gè)最優(yōu)估計(jì)方法，它為實(shí)驗(yàn)科學(xué)和理論科學(xué)之間提供了一個(gè)重要的聯(lián)系：它為實(shí)驗(yàn)學(xué)家提供了一種估計(jì)理論模型未知參數(shù)的實(shí)用方法。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的移动平均滤波_Kalman滤波理论与MATLAB实现引言的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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