習題1

2. 設A,B,C都是事件,試通過對A,B,C,,,中的一些事件的交及并的運算式表示下列事件:

1) A,B,C中僅有A發生. 2) A,B,C中至少有兩個發生. 3) A,B,C中至多兩個發生. 4) A,B,C中恰有兩個發生. 5) A,B,C中至多有一個發生. 答案 1) ; 2) AB 5)

3. 袋中有四個球,其中有兩個紅球,一個黃球和一個白球.有放回地抽三次,求出現下列情況的概率:

A?“三次都是紅的”,B?“三次顏色全同”,C?“三次顏色全不同”,D?“三次顏色不全同”,E?“三次中無紅”,F?“三次中無紅或無黃”.

解 每次抽球都可以抽到4個球中的任意一個，有4鐘可能，3次抽球共有43?64種可能，因此樣本空間含有64個樣本點。

每次抽球都可以抽到2個紅球中的任意一個，有2種可能，3次抽球都抽到紅球共有23?8種可能，因此事件A含有8個樣本點。

AC

BC; 3) BC (或ABC); 4) ABCABC;

.

3次抽球都抽到紅球共有23?8種可能，3次抽球都抽到黃球共有13?1種可能，3次抽球都抽到白球共有13?1種可能，因此事件B含有8?1?1?10個樣本點。

3

3種顏色的排列有A3?3!?6種，對應于每一種排列，抽到的球有2?1?1?2種可能，

因此事件C含有6?2?12個樣本點。

因為事件B含有10個樣本點，故事件D?含有64?10?54個樣本點。

每次抽球都可以抽到黃球和白球中的任一個，有2種可能，3次抽球都抽不到紅球共有23?8種可能，因此事件E含有8個樣本點。

3次都抽不到紅球有8種可能，3次都抽不到黃球有33?27中可能，3次都抽不到紅球和黃球有13?1中可能，因此事件F含有8?27?1?34個樣本點。

由上可得

P(A)?8/64?1/8， P(B)?10/64?5/32， P(C)?12/64?3/16， P(D)?54/64?27/32， P(E)?8/64?1/8 P(F)?34/64?17/32。

7. 某小學六個年級各年級學生人數相同,從中任意抽出4名代表.求下列事件的概率. 1) 從一年級到四年級每個年級恰好有一名代表. 2) 每個年級的代表都至多有一名. 3) 三年級恰好有兩名代表.

(設學生人數很多,抽出幾個代表后各年級學生人數比例的變化可以忽略). 解：1)P(A)?

A?

?

4!1? 4

546

2)P(B)?

B?C

?

A6464

?

5 18

22C4525

3)P(C)? ?4?

?2166

答案 1) 1/54, 2) 5/18, 3) 125/392(？).

10. 在8對夫妻中任意選出5人.求至少有一對夫妻被選中的概率. 解 設A?“沒有一對選中” P(A)?

A?

?

16?14?12?10?816

，P()?23/39 ?

16?15?14?13?1239

答案 23/39.

11. 在今年元旦出生的嬰兒中任選一人,又在今年頭兩天出生的嬰兒中再任選一人.求這兩人的出生時間相差不到半天的概率.

解 設第一個和第二個嬰兒出生時間分別是元旦開始后的X天和Y天，則兩人的出生時間相差不到半天當且僅當|X?Y|?1/2(如右圖)，從圖中看到,矩形面積為2，陰影部分面積為7/8，故兩人的出生時間相差不到半天的概率為

7/8

?7/16。 2

13. 在一條線段上隨意放兩點把這條線段一分為三,求得到的三條線段能成為一個三角形的三條邊的概率.

解 ??{(x,y):0?x?1,0?y?1}，

A?{(x,y):y?1/2,y?x?1/2}?{(x,y):x?1/2,x?y?1/2} P(A)?

A??1 4

答案 1/4.

14. 某城市的調查表明,該城市的家庭中有65%訂閱日報,有55%訂閱晚報,有75%訂閱雜志,有30%既訂閱日報又訂閱晚報,有50%既訂閱日報又訂閱雜志,有40%既訂閱晚報又訂閱雜志,有20%日報晚報和雜志都訂閱.該城市的家庭中至少訂閱有一份報紙或雜志的家庭占百分之幾?

解 設A?“訂閱日報”，B?“訂閱晚報”，C?“訂閱雜志”,則至少訂閱有一份報紙或雜志的家庭所占的百分數為

P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?65%?55%?75%?30%?50%?40%?20%?95%。

17. 擲五枚硬幣.已知至少出現兩個正面,問正面數剛好是三個的條件概率是多少? 解 擲五枚硬幣，有25?32種結果，樣本點總數是32。則Ai?“恰好出現i個正面”，

ii?0,1,2,3,4,5。在5枚硬幣中選出i個，有C5種可能，選種的硬幣出現正面，其余的硬幣i出現反面，有1種可能。故事件Ai含有C5個樣本點。設B?“至少出現兩個正面”，則B的

對立事件?“至多出現一個正面”?A032?6?26個樣本點。因而

01

A1含有C5?C5?6個樣本點，事件B含有

P(B)?26/32?13/16.

3

又A3含有C5?10個樣本點，故

P(A3)?10/32?5/16。

從而所求的條件概率為

P(A3|B)?

P(A3B)P(A3)10/32

???5/13。 P(B)P(B)26/32

19.投擲一個骰子兩次.

1) 已知第一次是6點,求兩次都是6點的條件概率.

2) 已知兩次中至少有一次是6點,求第二次是6點的條件概率. 3) 已知兩次中至多有一次是6點,求第二次是6點的條件概率.

4) 已知兩次中恰好有一次是6點,求第二次是6點的條件概率. 解 A?第一次得6點，B?第二次得6點。 1)P(AB)/P(A)?1/6.

2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1/6?1/6?1/36?11/36

P(BA?B)?

P(B)1/6

??6/11

P(A?B)11/36

3) C?A?B?, BC?B

P(BC)?

(5/6)(1/6)

?1/7

(1/6)(5/6)?(5/6)(1/6)?(5/6)(5/6)

4) C?A?B,BC?B

P(BC)?

(5/6)(1/6)

?1/2

(1/6)(5/6)?(5/6)(1/6)?

答案 1/6 6/11 1/7 1/2.

21. 已知某種病菌在全人口的帶菌率為10%.在檢測時,帶菌者呈陽性和陰性反應的概率分別為95%和5%,而不帶菌者呈陽性和陰性反應的概率分別為20%和80%. 1) 隨機地抽出一個人進行檢測,求結果為陽性的概率.

2) 已知某人檢測的結果為陽性,求這個人是帶菌者的條件概率. 解 P(B1)?0.1,P(B2)?0.9

P(AB1)?0.95,P(AB2)?0.20

P(A)?0.1?0.95?0.9?0.2?0.275

P(B1A)?0.1?0.95/0.275?19/55

答案 1) 0.275, 2) 19/55.

22. 張先生給李小姐發出電子郵件,但沒有收到李小姐的答復.如果李小姐收到電子郵件一定會用電子郵件答復,而電子郵件丟失的概率是p.求李小姐沒有收到電子郵件的條件概率. 解 設A?”李小姐沒有收到電子郵件”,B?“張先生沒有收到李小姐的答復”.則

P(A)?p，P(B|)?p，P(B|A)?1。

P(A|B)?

P(AB)P(A)P(B|A)p1

???。 P(B)P(A)P(B|A)?P()P(B|)p?(1?p)p2?p

26. 設A,B,C都是事件.又A和B獨立,B和C獨立,A和C互不相容.P(A)?1/2,

P(B)?1/4,P(C)?1/8.求概率P(ABC).

解 P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C) ?1/2?1/4?1/8?(1/2)(1/4)?(1/2)(1/8)?13/16。

29. 設線路中有元件A,B,C,D,E如圖6.1,它們是否斷開是獨立的,斷開的概率分別是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求線路斷開的概率.

“A斷開”,B?“D斷開”,E?“B斷開”, C?“C斷開”, D?“E斷開”, 解 設A?

T?“線路斷開”.則P(A)?0.6,P(B)?0.5,P(C)?0.4,P(D)?0.3,P(E)?0.2.

P(T)?P{[(AB)CD]E}?P[(AB)CD]?P(E)?P[(AB)CDE] ?P(ACD)?P(BCD)?P(ABCD)?P(E)?P(ACDE)?P(BCDE)?P(ABCDE) ?0.6?0.4?0.3?0.5?0.4?0.3?0.6?0.5?0.4?0.3?0.2?0.6?0.4?0.3?0.2 ?0.5?0.4?0.3?0.2?0.6?0.5?0.4?0.3?0.2

?0.072?0.060?0.0360?0.200?0.0144?0.0120?0.0072?0.2768

解2 P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.6?0.5?0.6?0.8, P[(AB)CD]?P(AB)P(C)P(D)?0.8?0.4?0.3?0.096,

P(T)?P{[(AB)CD]E}?P[(AB)CD]?P(E)?P[(AB)CD]P(E) ?0.096?0.2?0.096?0.2?0.2768.

35*. 同時投擲4個骰子,求擲出的4個面的點數之和是12的概率.

解 求(x?x?...?x)中x的系數，即(1?x?x?...?x)?(1?x)(1?x)中

2

64

12

25464?4

x8的系數.

(1?x6)4?1?4x6?....

(1?x)?4?(1?4x?10x2?...?165x8?...)

故系數為165－40＝125

P(A)?

A?

?

125125

? 4

12966

習題2

4. 擲一枚非均勻的硬幣,出現正面的概率為p(0?p?1),若以X表示直至擲到正、反面都出

現為止所需投擲的次數,求X的概率分布.

解 對于k?2,3,

,前k?1次出現正面,第k次出現反面的概率是pk?1(1?p),前k?1次出

現反面,第k次出現正面的概率是(1?p)k?1p,因而X有概率分布

P(X?k)?pk?1(1?p)?(1?p)k?1p,k?2,3,

.

5. 一個小班有8位學生,其中有5人能正確回答老師的一個問題.老師隨意地逐個請學生回答,直到得到正確的回答為止,求在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學生個數的概率分布.

第1個能正確回答的概率是5/8,

第1個不能正確回答,第2個能正確回答的概率是(3/8)(5/7)?15/56, 前2個不能正確回答,第3個能正確回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)?5/56, 前3個不能正確回答,第4個能正確回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)?1/56, 前4個都不能正確回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)?0.

設在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學生個數為X,則X有分布

6. 設某人有100位朋友都會向他發送電子郵件,在一天中每位朋友向他發出電子郵件的概率都是0.04,問一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是多少?試用二項分布公式和泊松近似律分別計算.

解 設一天中某人收到X位朋友的電子郵件,則X~B(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是P(X?4). 1) 用二項分布公式計算

k

P(X?4)?1?P(X?4)?1??k?0C1000.04k(1?0.04)100?k?0.5705.

3

2) 用泊松近似律計算

P(X?4)?1?P(X?4)?1??

3

Ck0.04k(1?0.04)100?kk?0100

?1??

3k?0

4k?4

e?0.5665. k!

8. 設X服從泊松分布,分布律為

P(X?k)?

?k

k!

e??,k?0,1,2,

.

問當k取何值時P{X?k}最大？ 解 設ak?P(X?k)/P(X?k?1),k?1,2,

,則

?k?1e??/k!?ak?k???,

?e/(k?1)!k

數列{ak}是一個遞減的數列. 若a1?1,則P(X?0)最大.

若a1?1,則當ak?1且ak?1?1時,P{X?k}最大. 由此得

1) 若??1,則P(X?0)最大.

2) 若??1,則P{X?k}最大??/k?1且?/(k?1)?1???1?k??. 由上面的1)和2)知,無論??1或??1,都有

?不是整數?[?]

. P{X?k}最大?k??

??1或??是整數?

12. 設隨機變量X的概率密度為p(x)?xI[0,1)(x)?(2?x)I[1,2](x).求X的分布函數F(x),并作出p(x)與F(x)的圖形. 解 F(x)??

x??

p(v)dv?I(??,0)(x)?0?dv?I[0,1)(x)

??

x

?I[1,2)(x) ?I[2,??)

??

(x)??

0x0

??

0?dv??

1

??

??

vdv??(2?x)dv?

x121

1

x

1

??

0?dv??vdv

x

?

??

0?dv??vdv??(2?v)dv??

1??

2

0?dv

?

?I[0,1)(x)?vdv?I[1,2)(x)

??

vdv??(2?v)dv?I[2,??)(x)

???

1

vdv??(2?v)dv

1

2

?

?(x2/2)I[0,1)(x)?(2x?x2/2?1)I[1,2)(x)?I[2,??)(x).

11. 設隨機變量X的概率密度為p(x)?cxI[0,10](x).求常數c和X的分布函數,并求概率P(X?16/X?10).

解 1??

??

??

p(x)dx??

x

100

cx2

cxdx?

2

10

?50c, c?1/50.

x

F(x)??

??

p(v)dv?I[0,10)(x)?

vx2?I[10,??)(x)?I[0,10)(x)?I[10,??)(x). 50100

P(X?16/X?10)?P(X2?10X?16?0)?P(2?X?8)

??

8

2

xx2

p(x)dx??dx??3/5.

2501002

8

8

15. 設隨機變量X的密度為ce?x解

1??

????

2

?x

.求常數c.

ce

?x2?x

dx?c?

x?t?1/2???(x?1/2)2?1/4???t2

edx?ce1/4edt????

?

?ce1/.

由上式得c?e?1/4??1/2.

15. 離散型隨機向量(X,Y)有如下的概率分布:

求邊緣分布.又問隨機變量X,Y是否獨立？ 解 X有分布

Y有分布

因為

0?P(X?2,Y?0)?P(X?2)P(Y?0)?0.3?0.1,

所以X,Y不獨立.

18． 設隨機向量(X,Y)服從矩形D?{(x,y):?1?x?2,0?y?2}上的均勻分布,求條件概率P(X?1|X?Y).

1

解 P(X?Y)?(6??2?2)/6?2/3,

21

P(X?Y,X?1)?(?1?1)/6?1/12,

2

P(X?1|X?Y)?

P(X?Y,X?1)1/12

??1/8.

P(X?Y)2/3

22. 隨機向量(X,Y)有聯合密度

p(x,y)?

E(x,y),

其中E?{(x,y):0?x2?y2?R2}.求系數c和(X,Y)落在圓D?{(x,y):x2?y2?r2}內的概率. 解

1??

????

???

??

p(x,y)dxdy?

2

??

2

x?rcos?

y?rsin?

0?x?y?R

2

?

?0?0

R

?

2?

d?cdr?2?cR

?

因而c?

12?R

.而

P{(X,Y)?D}???p(x,y)dxdy?

D

x2?y2?r??

x?rcos?y?rsin?

?

2?R?0

1

r

??

2?0

d?dr?r/R.

?

27. 設X~N(?,?2),分別找出ki,使得P(??ki??X???ki?)??i.其中i?1,2,3,

?1?0.9,?2?0.95,?3?0.99.

解1

?i?P(??ki??X???ki?)??

x??t??

??ki???ki?

22?(x??)/(2?)dx

?

??k

ki

i

?t2/2

dt??(ki)??(?ki)?2?(ki)?1. ?(ki)?(?i?1)/2.

代入?i的值查得?1?1.64,?2?1.96,?3?2.58.

解2 設Z?

X?1

~N(0,1),則Z~N(0,1). 2

???k???X????k????

??? ?????

?i?P(??ki??X???ki?)??P?

?P(?ki?Z?ki)??(ki)??(?ki)?2?(ki)?1. ?(ki)?(?i?1)/2.

代入?i的值查得?1?1.64,?2?1.96,?3?2.58.

28. 某商品的每包重量X~N(200,?2).若要求P{195?X?205}?0.98,則需要把?控制在什么范圍內. 解 設Z?

X?200

?

~N(0,1),則Z~N(0,1).

P{195?X?205}?P??195?200

???Z?205?200????

??(5/?)??(?5/?)?2?(5/?)?1.

P{195?X?205}?0.98?2?(5/?)?1?0.98

?5/????1(0.99)?2.33???5/2.33?2.15.

28. 設X服從自由度為k的?2分布,即X有密度

p?1X(x)?

12

k/2

?(k/2)

xk/2e?x/2I(0,??)(x).

求Y?. 解1

當y?0時

,FY(y)?P(Y?y)?Py)?0,pY(y)?FY?(y)?0. 當y?0時

,FY(y)?P(Y?y)?P?y)?P(X?ky2)?F2X(ky), p12k/2?1?ky2/2

Y(y)?FY?(y)?2kypX(ky2)?2ky?

2k/2

?(k/2)

(ky)eI(0,??)(ky2) k/2

?2?k/2?

yk?122e?ky/2?k/.

因而

k/2

p2?k/2?

k?1?ky

2

/2

Y(y)?

?k/2yeI(0,??)(y).

解2 設V?(0,??),則P(X?V)?1.

設y?f(x)?x?V,則f有反函數

??f?1(y)?ky2, y?G,

其中G?{y?f(x):x?V}?(0,??).因而Y有密度

pY(y)?|??(y)|pX(?(y)IG(y) 1k/2

?2ky?2?(k/2)(ky2)k/2?1e?ky2/2I2?k/2?2

(0,??)(ky2)?k?1

k/2ye?ky/2

?.

29. 由統計物理學知道分子運動的速率遵從麥克斯威爾(Maxwell)分布,即密度為

p?x2/X(x)?2

?2

I(0,??)(x).

其中參數??0.求分子的動能Y?mX2/2的密度.

解1

當y?0時,FY(y)?P(Y?y)?P(mX2/2?y)?0,pY(y)?FY?(y)?0.

當y?0時

,FY(y)?P(Y?y)?P(mX2/2?y)?P(X?FX,

pY(y)?FY?(y)?p??2y/(m?2)XI(0,??)

??2y/(m?2)?2y/(m?2)

.

因而

p?2y/(Y(y)?m?2)I(0,??)(y).

解2 設V?(0,??),則P(X?V)?1.

設y?f(x)?mx2/2, x?V,則f有反函數

??f?1(y)y?G,

其中G?{y?f(x):x?V}?(0,??).因而Y有密度

pY(y)?|??(y)|pX(?(y)IG(y)

??2

p?y/(m?2)XI(0,??)

?

?2y/(m?2)I(0,??)(y). 30. 設X服從[?1,2]上的均勻分布,Y?X2.求Y的分布.

1解 X有密度PX(x)?I[?1,2}(x).Y有分布函數 3

FY(y)?P(Y?y)

?P(X2?y)

?I[0,??)(y)P(X

?I[0,??)(y)pX(x)dx

?I[0,??)(y) ?I[0,1)(y) ?

(x)dx

[?1,2]?I[1,4)(y)?I[4,??)(y)

?13[0,1)(y)[1,4)(y)?I[4,??)(y). 31. 質點隨機地落在中心在原點,半徑為R的圓周上,并且對弧長是均勻地分布的.求落點的橫坐標的概率密度.

解 設落點極坐標是(R,?),則?服從[0,2?]上的均勻分布,有密度

p?(?)?1I[0,2?](?). 2?

設落點橫坐標是X,則X?Rcos?,X的分布函數為

FX(x)?P(X?x)?P(Rcos??x).

當x??1時,FX(x)?0.當x?1時,FX(x)?1.當?1?x?1時

xx?1?x??FX(x)?P(Rcos??x)?P?arccos???2??arccos?????arccos?. RR???R??

因而落點的橫坐標X有概率密度

?(x)?pX(x)?FXI(?1,1)(x). .

34. 設隨機變量X服從在[0,1]上的均勻分布,求Y??lnX的分布. 解 設V?(0,1),則P(X?V)?1.

設y?f(x)??lnx, x?V,則f有反函數

??f?1(y)?e?y, y?G,

其中G?{y?f(x):x?V}?(0,??).因而Y有密度 pY(y)?|??(y)|pX(?(y))IG(y)?e?yI[0,1](e?y)I(0,??)(y)?e?yI(0,??)(y).

36. 設X和Y獨立,密度分別為pX(x)?I[0,1](x)和pY(y)?e?yI(0,??)(y),求Z?X?Y的密度.

解 pZ(z)??

??

??????pX(x)pY(z?x)dx ??????

??I[0,1](x)e?(z?x)I(0,??)(z?x)dx I[0,1](x)e?(z?x)I(??,z)(x)dx

z1 ?I[0,1)(z)?e?(z?x)dx?I[1,??)(z)?e?(z?x)dx 00

?I[0,1)(z)(1?e?z)?e?z(e?1)I[1,??)(z).

37. 設系統L由兩個相互獨立的子系統L1,L2聯接而成,聯接的方式分別為串聯,并聯和備用(當系統L1損壞時,系統L2開始工作),如圖7.1所示.L1和L2的壽命為X和Y,分別有密度pX(x)??e??xI(0,??)(x)和pY(y)??e??yI(0,??)(y),其中??0,??0且???.請就這三種聯接方式分別寫出系統L的壽命Z的密度.

解 X,Y獨立,分別服從參數為?和?的指數分布,因此分別有分布函數

FX(x)?(1?e??x)I(0,??)(x)

和

FY(y)?(1?e??y)I(0,??)(y).

1) 聯接的方式為串聯時,Z?min{X.Y},

FS(z)?P{min(X,Y)?z}?1?P{min(X,Y)?

z}

?1?P(X?z)P(Y?z)?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?(1?e?(???)z)I(0,??)(z),

?(z)?(???)e?(???)zsI(0,??)(z). pZ(z)?FZ

2) 聯接的方式為并聯時,Z?max{X.Y},

FZ(z)?P{max(X,Y)?z}?P(X?z)P(Y?z)?FX(z)FY(z) ?(1?e??r)(1?e?b?r)I(0,??)(z),

?(z)?(?e??z??e??z?(???)e?(???)z)I(0,??)(z). pZ(z)?FZ

3) 聯接的方式為備用時,Z?X?Y,

pZ(z)????

??

zpX(x)pY(z?x)dx???????e??xI(0,??)(x)??e??(z?x)I(0,??)(z?x)dx z

0 ?I(0,??)(z)??e??x?e??(z?x)dx???e??zI(0,??)(z)?e?(???)xdx. 0

因此,

當???時, pZ(z)???(e??z?e??z)I(0,??)(z), ???

當???時, pZ(z)??2ze??zI(0,??)(z).

38. X,Y相互獨立,X~?(?1,?),Y~?(?2,?).證明Z?X?Y~?(?1?a2,?).(提示:稱B(s,t)??us?1(1?u)t?1dx為?函數,由微積分的知識知B(s,t)??(s)?(t)/?(s?t)) 01

解 (見命題A.2.1)

43. 設X1,X2,,Xn獨立,都服從參數為m,?的威布爾分布,即都有密度

p(x)?m

?mm?x/?xm?1e??I(0,??)(x).

證明min(X1,X2,

證 Xii?1,,Xn)仍服從威布爾分布. n有分布函數 x

0 F(x)?I(0,??)(x)?

?v/??m?tm?m?v/?vm?1e??dv,

設 ?I(0,??)(x)??x/??m0edt?(1?e?t??x/??m)I(0,??)(x).

Z?min(X1,X2,,Xn),

則Z有分布函數

FZ(z)?P(Z?z)?P(min(X1,,Xn)?z)?1?P(min(X1,,Xn)?z) ?1?P(X1?z)P(Xn?z)?1?[1?F(x)]n. ?1????I(??,0](x)?e??x/??mn

I(0,??)(x)????1?e??x/??mnI(0,??)(x),

接下來的證明過程可以有兩種。

其一：

FZ(z)與F(x)有相同的形式，從而Z?min(X1,X2,,Xn)仍服從威布爾分布.

其二：

因而Z有密度函數

pmn?

Z(z)?FZ?(z)?mne??x/??1I(0,??)(x),

從而Z?min(X1,X2,,Xn)仍服從威布爾分布.

總結

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