傅立葉原理表明：

任何連續(xù)測量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號(hào)，以累加方式來計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。

反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。

傅立葉變換將原來難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。

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圖像傅立葉變換的物理意義

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。

如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。

傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。

從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。

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傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較小），反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。

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對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

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頻率濾波?
在頻域中，頻率越大說明原始信號(hào)變化速度越快；頻率越小說明原始信號(hào)越平緩。當(dāng)頻率為0時(shí)，表示直流信號(hào)，沒有變化。因此，頻率的大小反應(yīng)了信號(hào)的變化快慢。高頻分量解釋信號(hào)的突變部分，而低頻分量決定信號(hào)的整體形象。

在圖像處理中，頻域反應(yīng)了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對(duì)圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應(yīng)在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個(gè)角度來觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉(zhuǎn)化到頻率分布上來觀察圖像的特征。書面一點(diǎn)說就是，傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉(zhuǎn)換的途徑。對(duì)圖像處理而言，以下概念非常的重要：?

圖像高頻分量：圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣信息，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；?
低頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息?高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑制，高頻分量通過?低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過?
帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率信息通過，其他過低或過高都抑制?模板運(yùn)算與卷積定理?
在時(shí)域內(nèi)做模板運(yùn)算，實(shí)際上就是對(duì)圖像進(jìn)行卷積。模板運(yùn)算是圖像處理一個(gè)很重要的處理過程，很多圖像處理過程，比如增強(qiáng)/去噪（這兩個(gè)分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。

根據(jù)卷積定理，時(shí)域卷積等價(jià)與頻域乘積。因此，在時(shí)域內(nèi)對(duì)圖像做模板運(yùn)算就等效于在頻域內(nèi)對(duì)圖像做濾波處理。?
比如說一個(gè)均值模板，其頻域響應(yīng)為一個(gè)低通濾波器；在時(shí)域內(nèi)對(duì)圖像作均值濾波就等效于在頻域內(nèi)對(duì)圖像用均值模板的頻域響應(yīng)對(duì)圖像的頻域響應(yīng)作一個(gè)低通濾波。

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在MATLAB中

i=imread('lena2561.bmp'); figure(1); imshow(i); colorbar;j=fft2(i);%完成FFT變換 k=fftshift(j);%%實(shí)現(xiàn)居中%取得傅里葉頻譜 figure(2); l=log(abs(k)); imshow(l,[]); colorbar; % s=abs(j);%取得傅里葉頻譜 % s=(s-min(min(s)))/(max(max(s))-min(min(s)))*255; % imshow(s);% 實(shí)現(xiàn)傅里葉逆變換 n=ifft2(j)/255; figure(3); imshow(n); colorbar;

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OpenCV

#include <stdio.h> #include <cv.h> #include <cxcore.h> #include <highgui.h> /************************************************************************** //src IPL_DEPTH_8U //dst IPL_DEPTH_64F **************************************************************************/ //傅里葉正變換 void fft2(IplImage *src, IplImage *dst) { //實(shí)部、虛部IplImage *image_Re = 0, *image_Im = 0, *Fourier = 0;// int i, j;image_Re = cvCreateImage(cvGetSize(src), IPL_DEPTH_64F, 1); //實(shí)部//Imaginary partimage_Im = cvCreateImage(cvGetSize(src), IPL_DEPTH_64F, 1); //虛部//2 channels (image_Re, image_Im)Fourier = cvCreateImage(cvGetSize(src), IPL_DEPTH_64F, 2);// Real part conversion from u8 to 64f (double)cvConvertScale(src, image_Re, 1, 0);// Imaginary part (zeros) cvZero(image_Im);// Join real and imaginary parts and stock them in Fourier imagecvMerge(image_Re, image_Im, 0, 0, Fourier);// Application of the forward Fourier transform cvDFT(Fourier, dst, CV_DXT_FORWARD);cvReleaseImage(&image_Re);cvReleaseImage(&image_Im);cvReleaseImage(&Fourier); } /************************************************************************** //src IPL_DEPTH_64F //dst IPL_DEPTH_8U **************************************************************************/ void fft2shift(IplImage *src, IplImage *dst) { IplImage *image_Re = 0, *image_Im = 0; int nRow, nCol, i, j, cy, cx; double scale, shift, tmp13, tmp24; image_Re = cvCreateImage(cvGetSize(src), IPL_DEPTH_64F, 1); //Imaginary part image_Im = cvCreateImage(cvGetSize(src), IPL_DEPTH_64F, 1); cvSplit( src, image_Re, image_Im, 0, 0 );//具體原理見岡薩雷斯數(shù)字圖像處理p123// Compute the magnitude of the spectrum Mag = sqrt(Re^2 + Im^2)//計(jì)算傅里葉譜cvPow( image_Re, image_Re, 2.0);cvPow( image_Im, image_Im, 2.0);cvAdd( image_Re, image_Im, image_Re);cvPow( image_Re, image_Re, 0.5 );//對(duì)數(shù)變換以增強(qiáng)灰度級(jí)細(xì)節(jié)(這種變換使以窄帶低灰度輸入圖像值映射//一寬帶輸出值，具體可見岡薩雷斯數(shù)字圖像處理p62)// Compute log(1 + Mag);cvAddS( image_Re, cvScalar(1.0), image_Re ); // 1 + MagcvLog( image_Re, image_Re ); // log(1 + Mag)//Rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at the image centernRow = src->height;nCol = src->width;cy = nRow/2; // image centercx = nCol/2; //CV_IMAGE_ELEM為OpenCV定義的宏，用來讀取圖像的像素值，這一部分就是進(jìn)行中心變換for( j = 0; j < cy; j++ ){for( i = 0; i < cx; i++ ){//中心化，將整體份成四塊進(jìn)行對(duì)角交換tmp13 = CV_IMAGE_ELEM( image_Re, double, j, i);CV_IMAGE_ELEM( image_Re, double, j, i) = CV_IMAGE_ELEM(image_Re, double, j+cy, i+cx);CV_IMAGE_ELEM( image_Re, double, j+cy, i+cx) = tmp13;tmp24 = CV_IMAGE_ELEM( image_Re, double, j, i+cx);CV_IMAGE_ELEM( image_Re, double, j, i+cx) =CV_IMAGE_ELEM( image_Re, double, j+cy, i);CV_IMAGE_ELEM( image_Re, double, j+cy, i) = tmp24;}}//歸一化處理將矩陣的元素值歸一為[0,255]//[(f(x,y)-minVal)/(maxVal-minVal)]*255double minVal = 0, maxVal = 0;// Localize minimum and maximum valuescvMinMaxLoc( image_Re, &minVal, &maxVal );// Normalize image (0 - 255) to be observed as an u8 imagescale = 255/(maxVal - minVal);shift = -minVal * scale;cvConvertScale(image_Re, dst, scale, shift);cvReleaseImage(&image_Re);cvReleaseImage(&image_Im); } /***********************************************************************/ int main() { IplImage *src; //源圖像 IplImage *Fourier; //傅里葉系數(shù) IplImage *dst ; IplImage *ImageRe; IplImage *ImageIm; IplImage *Image; IplImage *ImageDst; double m,M; double scale; double shift; src = cvLoadImage("D:\\main.jpg",0); //加載源圖像，第二個(gè)參數(shù)表示將輸入的圖片轉(zhuǎn)為單信道 Fourier = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2); dst = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2); ImageRe = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1); ImageIm = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1); Image = cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels); ImageDst = cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels); fft2(src,Fourier); //傅里葉變換 fft2shift(Fourier, Image); //中心化 cvDFT(Fourier,dst,CV_DXT_INV_SCALE);//實(shí)現(xiàn)傅里葉逆變換，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行縮放 cvSplit(dst,ImageRe,ImageIm,0,0); cvNamedWindow("源圖像",0); cvShowImage("源圖像",src); //對(duì)數(shù)組每個(gè)元素平方并存儲(chǔ)在第二個(gè)參數(shù)中 cvPow(ImageRe,ImageRe,2); cvPow(ImageIm,ImageIm,2); cvAdd(ImageRe,ImageIm,ImageRe,NULL); cvPow(ImageRe,ImageRe,0.5); cvMinMaxLoc(ImageRe,&m,&M,NULL,NULL); scale = 255/(M - m); shift = -m * scale; //將shift加在ImageRe各元素按比例縮放的結(jié)果上，存儲(chǔ)為ImageDst cvConvertScale(ImageRe,ImageDst,scale,shift); cvNamedWindow("傅里葉譜",0); cvShowImage("傅里葉譜",Image); cvNamedWindow("傅里葉逆變換",0); cvShowImage("傅里葉逆變換",ImageDst); //釋放圖像 cvWaitKey(10000); cvReleaseImage(&src); cvReleaseImage(&Image); cvReleaseImage(&ImageIm); cvReleaseImage(&ImageRe); cvReleaseImage(&Fourier); cvReleaseImage(&dst); cvReleaseImage(&ImageDst); return 0; }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Lemon-Li/p/3277025.html

總結(jié)

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