1、定義

模糊集的入截集$A_{\lambda }$.是一個經典集合,由隸屬度不小于$\lambda$的成員構成.它的特征函數為
$${\chi }_{A_{\lambda }}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& A(x)?\lambda \\ 0,& A(x)<\lambda \end{array}$$

• 例1：設論域$U$表示學生,他們某門功課的分數依次是50, 60,70,85,90,95. $A=“學習成績好的學生”$,他們所得的分數除以100后,即為各自對$A$的隸屬度,即

$$A=\frac{0.5}{u_1}+\frac{0.6}{u_2}+\frac{0.7}{u_3}+\frac{0.85}{u_4}+\frac{0.9}{u_5}+\frac{0.95}{u_6}$$

要糊定“學習成績好的學生”實際上就是要將模糊集$A$轉化為經典集合，即先確定一個閾值$\lambda (0\le 1\le 1)$,然后將隸屬度$A(r)\ge \lambda$的元素找出來，當$\lambda$取0.9，0.8, 0.6, 0.5時：
$$\begin{array}{l}{A}_{0.9}(90\text{?分以上者?})=\left\{u_5,u_6\right\},\\ A_{0.8}(80\text{?分以上者?})=\left\{u_4,u_5,u_6\right\}\\ A_{0.6}(60\text{?分以上者?})=\left\{u_2,u_3,u_4,u_5,u_6\right\},\\ A_{0.5}(50\text{?分以上者?})=\left\{u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6\right\}\end{array}$$

• 例2：$A(x)=\exp \left[1?\frac{(x?a{)}^2}{{\sigma }^2}\right]$，求$A_{\lambda }(0<\lambda \le 1)$

$$\begin{array}{rl}A(x)?\lambda & ??\frac{(x?a{)}^2}{{\sigma }^2}?\ln \lambda \\ & ?(x?a{)}^2??{\sigma }^2\ln \lambda \\ & ?a?\sqrt{?{\sigma }^2\ln \lambda }?x?a+\sqrt{?{\sigma }^2\ln \lambda }\end{array}$$

? 因此
$$A_{\lambda }=\left\{x\mid a?\sqrt{?{\sigma }^2\ln \lambda }?x?a+\sqrt{?{\sigma }^2\lambda }\right\}$$
? 或
$$A_{\lambda }=[a?\sqrt{?{\sigma }^2\ln \lambda },a+\sqrt{?{\sigma }^2\ln \lambda }]$$

2、性質

$$\begin{gathered} A?B?A_2?B_2 \\ \mu ?\lambda ?A_{\mu }?A_{\lambda } \\ {\left(A\cup B\right)}_{\lambda }=A_{\lambda }\cup B_{\lambda },(A\cap B{)}_{\lambda }=A_{\lambda }\cap B_{\lambda } \end{gathered}$$

3、支集、正規集與核

$1^{°}$ 稱集合 $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}A=\{x\mid A(x)>0\}$ 為 $A$ 的支集, 記 $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}A=A_v$
$2^{°}$ 稱集合 $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A=\{x\mid A(x)=1\}$ 為 $A$ 的核, 記Ker $A=A_1.$ 若 $\mathrm{Ker}A=?$,則稱
為正規模糊集。
$3^{°}$ 稱集合 $\mathrm{B}\mathrm{d}A=\{x\mid 0<A(x)<1\}$ 為 $A$ 的邊界,即 $\mathrm{B}\mathrm{d}A=\mathrm{Supp}A?\mathrm{Ker}A$

4、分解定理

• 任意模糊集合可以寫成：

$$A=\underset{\lambda \in [0,1]}{?}\lambda A_{\lambda }$$

定理表,模糊集可由經典集合表示,這反映T模糊集和經典集合的密切關系，建立了模糊集與經典集合的轉化關系。

• 上述定理也可以寫成：

$$A(x)=\underset{\lambda \in [0,1]}{?}\left[\lambda \wedge {\chi }_{A_{\lambda }}(x)\right]$$

或者
$$A(x)=?\left\{\lambda \in [0,1];x\in A_{\lambda }\right\}$$
由上述結論可知，若已知模糊集的所有截集，則可以反求模糊集本身。

• 例3：求出模糊集$A=\frac{0.7}{u_1}+\frac{0.8}{u_2}+\frac{0.2}{u_3}+\frac{1}{u_4}$的所有截集及分解.

所有截集：
$$\begin{gathered} A_1=\left\{u_4\right\}=\frac{1}{u_4},1A_1=\frac{1}{u_4} \\ {A}_{0.8}=\left\{u_2,u_4\right\}=\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_4},0.8A_{0.8}=\frac{0.8}{u_2}+\frac{0.8}{u_4} \\ {A}_{0.7}=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_4},0.7A_{0.7}=\frac{0.7}{u_1}+\frac{0.7}{u_2}+\frac{0.7}{u_4} \\ {A}_{0.2}=\left\{u_1,u_2,u_3,u_4\right\}=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4} \\ 0.2A_{0.2}=\frac{0.2}{u_1}+\frac{0.2}{u_2}+\frac{0.2}{u_3}+\frac{0.2}{u_4} \end{gathered}$$
最終分解：
$$\begin{gathered} 1A_1\cup 0.8A_{0.8}\cup 0.7A_{0.7}\cup 0.2A_{0.2}=\frac{1}{u_4}?\left(\frac{0.8}{u_2}+\frac{0.8}{u_4}\right)?\left(\frac{0.7}{u_1}+\frac{0.7}{u_2}+\frac{0.7}{u_4}\right)?\left(\frac{0.2}{u_1}+\frac{0.2}{u_2}+\frac{0.2}{u_3}+\frac{0.2}{u_3}\right) \\ =\frac{0.7?0.2}{u_1}+\frac{0.8?0.7?0.2}{u_2}+\frac{0.2}{u_3}+\frac{1}{4}\frac{V0.8?0.7?0.2}{u_4} \\ =\frac{0.7}{u_1}+\frac{0.8}{u_2}+\frac{0.2}{u_3}+\frac{1}{u_4}=A \end{gathered}$$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：二、模糊截集与分解定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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