轉自https://www.cnblogs.com/initial-h/p/9468974.html?寫的非常好，思路清晰，順帶連VAE trick也講了

之前看MADDPG論文的時候，作者提到在離散的信息交流環境中，使用了Gumbel-Softmax estimator。于是去搜了一下，發現該技巧應用甚廣，如深度學習中的各種GAN、強化學習中的A2C和MADDPG算法等等。只要涉及在離散分布上運用重參數技巧時(re-parameterization)，都可以試試Gumbel-Softmax Trick。

??這篇文章是學習以下鏈接之后的個人理解，內容也基本出于此，需要深入理解的可以自取。

• The Humble Gumbel Distribution
• The Gumbel-Max Trick for Discrete Distributions
• The Gumbel-Softmax Trick for Inference of Discrete Variables
• 如何理解Gumbel-Max trick？

??這篇文章從直觀感覺講起，先講Gumbel-Softmax Trick用在哪里及如何運用，再編程感受Gumbel分布的效果，最后討論數學證明。

目錄

• 一、Gumbel-Softmax Trick用在哪里
  • 問題來源
  • Re-parameterization Trick
  • Gumbel-Softmax Trick
• 二、Gumbel分布采樣效果
• 三、數學證明

一、Gumbel-Softmax Trick用在哪里

問題來源

??通常在強化學習中，如果動作空間是離散的，比如上、下、左、右四個動作，通常的做法是網絡輸出一個四維的one-hot向量(不考慮空動作)，分別代表四個動作。比如[1,0,0,0]代表上，[0,1,0,0]代表下等等。而具體取哪個動作呢，就根據輸出的每個維度的大小，選擇值最大的作為輸出動作,即argmax(v)

。

??例如網絡輸出的四維向量為v=[?20,10,9.6,6.2]

，第二個維度取到最大值10，那么輸出的動作就是[0,1,0,0]，也就是下，這和多類別的分類任務是一個道理。但是這種取法有個問題是不能計算梯度，也就不能更新網絡。通常的做法是加softmax函數，把向量歸一化，這樣既能計算梯度，同時值的大小還能表示概率的含義。softmax函數定義如下：

?

σ(zi)=ezi∑j=1Kezj

?

??那么將v=[?20,10,9.6,6.2]

通過softmax函數后有σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]，這樣做不會改變動作或者說類別的選取，同時softmax傾向于讓最大值的概率顯著大于其他值，比如這里10和9.6經過softmax放縮之后變成了0.591和0.396，6.2對應的概率更是變成了0.013，這有利于把網絡訓成一個one-hot輸出的形式，這種方式在分類問題中是常用方法。

??但是這么做還有一個問題，這個表示概率的向量σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]并沒有真正顯示出概率的含義，因為一旦某個值最大，就選擇相應的動作或者分類。比如σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]和σ(v)=[0,0.9,0.1,0]

在類別選取的結果看來沒有任何差別，都是選擇第二個類別，但是從概率意義上講差別是巨大的。所以需要一種方法不僅選出動作，而且遵從概率的含義。

??很直接的方法是依概率采樣就完事了，比如直接用np.random.choice函數依照概率生成樣本值，這樣概率就有意義了。這樣做確實可以，但是又有一個問題冒了出來：這種方式怎么計算梯度？不能計算梯度怎么用BP的方式更新網絡？

??這時重參數(re-parameterization)技巧解決了這個問題，這里有詳盡的解釋，不過比較晦澀。簡單來說重參數技巧的一個用處是把采樣的步驟移出計算圖，這樣整個圖就可以計算梯度BP更新了。之前我一直在想分類任務直接softmax之后BP更新不就完事了嗎，為什么非得采樣。后來看了VAE和GAN之后明白，還有很多需要采樣訓練的任務。這里舉簡單的VAE(變分自編碼器)的例子說明需要采樣訓練的任務以及重參數技巧，詳細內容來自視頻和博客。

Re-parameterization Trick

??最原始的自編碼器通常長這樣：



??左右兩邊是端到端的出入輸出網絡，中間的綠色是提取的特征向量，這是一種直接從圖片提取特征的方式。
??而VAE長這樣:



??VAE的想法是不直接用網絡去提取特征向量，而是提取這張圖像的分布特征，也就把綠色的特征向量替換為分布的參數向量，比如說均值和標準差。然后需要decode圖像的時候，就從encode出來的分布中采樣得到特征向量樣本，用這個樣本去重建圖像，這時怎么計算梯度的問題就出現了。
??重參數技巧可以解決這個問題，它長下面這樣:



??假設圖中的x

和?表示VAE中的均值和標準差向量，它們是確定性的節點。而需要輸出的樣本z是帶有隨機性的節點，重參數就是把帶有隨機性的z變成確定性的節點，同時隨機性用另一個輸入節點?代替。例如，這里用正態分布采樣，原本從均值為x和標準差為?的正態分布N(x,?2)中采樣得到z。將其轉化成從標準正態分布N(0,1)中采樣得到?,再計算得到z=x+???。這樣一來，采樣的過程移出了計算圖，整張計算圖就可以計算梯度進行更新了，而新加的?

的輸入分支不做更新，只當成一個沒有權重變化的輸入。

??到這里，需要采樣訓練的任務實例以及重參數技巧基本有個概念了。

Gumbel-Softmax Trick

??VAE的例子是一個連續分布(正態分布)的重參數，離散分布的情況也一樣，首先需要可以采樣，使得離散的概率分布有意義而不是只取概率最大的值，其次需要可以計算梯度。那么怎么做到的，具體操作如下：

??對于n

維概率向量π,對π對應的離散隨機變量xπ

添加Gumbel噪聲，再取樣

?

xπ=argmax(log(πi)+Gi)

?

??其中，Gi

是獨立同分布的標準Gumbel分布的隨機變量，標準Gumbel分布的CDF為F(x)=e?e?x。
??這就是Gumbel-Max trick。可以看到由于這中間有一個argmax操作，這是不可導的，所以用softmax函數代替之，也就是Gumbel-Softmax Trick，而Gi可以通過Gumbel分布求逆從均勻分布生成，即Gi=?log(?log(Ui)),Ui～U(0,1)

,這樣就搞定了。

??具體實踐是這樣操作的,

• 對于網絡輸出的一個n

維向量v,生成n個服從均勻分布U(0,1)的獨立樣本?1,...,?n

• ?
• 通過Gi=?log(?log(?i))
• 計算得到Gi
• ?
• 對應相加得到新的值向量v′=[v1+G1,v2+G2,...,vn+Gn]

• ?
• 通過softmax函數

?

στ(v′i)=ev′i/τ∑j=1nev′j/τ

?

??計算概率大小得到最終的類別。其中τ

是溫度參數。

??直觀上感覺，對于強化學習來說，在選擇動作之前加一個擾動，相當于增加探索度，感覺上是合理的。對于深度學習的任務來說，添加隨機性去模擬分布的樣本生成，也是合情合理的。

二、Gumbel分布采樣效果

??為什么使用Gumbel分布生成隨機數，就能模擬離散概率分布的樣本呢？這部分使用代碼模擬來感受它的優越性。這部分例子和代碼來自這里。

??首先Gumbel分布的概率密度函數長這樣：

?

p(x)=1βe?z?e?z

?

??其中z=x?μβ

。

??Gumbel分布是一類極值分布，那么它表示什么含義呢？原鏈接舉了一個ice cream的例子，沒有get到點。這里舉一個類似的喝水的例子。
??比如你每天都會喝很多次水(比如100次)，每次喝水的量也不一樣。假設每次喝水的量服從正態分布N(μ,σ2)

(其實也有點不合理，畢竟喝水的多少不能取為負值，不過無傷大雅能理解就好，假設均值為5)，那么每天100次喝水里總會有一個最大值，這個最大值服從的分布就是Gumbel分布。實際上，只要是指數族分布，它的極值分布都服從Gumbel分布。那么上面這個例子的分布長什么樣子呢，作圖有

from scipy.optimize import curve_fit import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt mean_hunger = 5 samples_per_day = 100 n_days = 10000 samples = np.random.normal(loc=mean_hunger, size=(n_days, samples_per_day)) daily_maxes = np.max(samples, axis=1)def gumbel_pdf(prob,loc,scale):z = (prob-loc)/scalereturn np.exp(-z-np.exp(-z))/scaledef plot_maxes(daily_maxes):probs,hungers,_=plt.hist(daily_maxes,density=True,bins=100)plt.xlabel('Volume')plt.ylabel('Probability of Volume being daily maximum')(loc,scale),_=curve_fit(gumbel_pdf,hungers[:-1],probs)#curve_fit用于曲線擬合#接受需要擬合的函數（函數的第一個參數是輸入，后面的是要擬合的函數的參數）、輸入數據、輸出數據#返回的是函數需要擬合的參數# https://blog.csdn.net/guduruyu/article/details/70313176plt.plot(hungers,gumbel_pdf(hungers,loc,scale))plt.figure() plot_maxes(daily_maxes)

??那么gumbel分布在離散分布的采樣中效果如何呢？可以作圖比較一下。先定義一個多項分布，作出真實的概率密度圖。再通過采樣的方式比較各種方法的效果。

??如下代碼定義了一個7類別的多項分布，其真實的密度函數如下圖

n_cats = 7 cats = np.arange(n_cats) probs = np.random.randint(low=1, high=20, size=n_cats) probs = probs / sum(probs) logits = np.log(probs) def plot_probs():plt.bar(cats, probs)plt.xlabel("Category")plt.ylabel("Probability") plt.figure() plot_probs()

??首先我們直接根據真實的分布利用np.random.choice函數采樣對比效果

n_samples = 1000 def plot_estimated_probs(samples,ylabel=''):n_cats = np.max(samples)+1estd_probs,_,_ = plt.hist(samples,bins=np.arange(n_cats+1),align='left',edgecolor='white',density=True)plt.xlabel('Category')plt.ylabel(ylabel+'Estimated probability')return estd_probs def print_probs(probs):print(' '.join(['{:.2f}']`len(probs)).format(`probs))samples = np.random.choice(cats,p=probs,size=n_samples) plt.figure() plt.subplot(1,2,1) plot_probs() plt.subplot(1,2,2) estd_probs = plot_estimated_probs(samples) plt.tight_layout()#緊湊顯示圖片print('Original probabilities:\t\t',end='') print_probs(probs) print('Estimated probabilities:\t',end='') print_probs(estd_probs)

Original probabilities:??0.11?0.05?0.12?0.21?0.12?0.26?0.14
Estimated probabilities:?0.12?0.04?0.12?0.23?0.10?0.26?0.13

??效果意料之中的好。可以想到要是沒有不能求梯度這個問題，直接從原分布采樣是再好不過的。

??接著通過前述的方法添加Gumbel噪聲采樣，同時也添加正態分布和均勻分布的噪聲作對比

def sample_gumbel(logits):noise = np.random.gumbel(size=len(logits))sample = np.argmax(logits+noise)return sample gumbel_samples = [sample_gumbel(logits) for _ in range(n_samples)]def sample_uniform(logits):noise = np.random.uniform(size=len(logits))sample = np.argmax(logits+noise)return sample uniform_samples = [sample_uniform(logits) for _ in range(n_samples)]def sample_normal(logits):noise = np.random.normal(size=len(logits))sample = np.argmax(logits+noise)return sample normal_samples = [sample_normal(logits) for _ in range(n_samples)]plt.figure(figsize=(10,4)) plt.subplot(1,4,1) plot_probs() plt.subplot(1,4,2) gumbel_estd_probs = plot_estimated_probs(gumbel_samples,'Gumbel ') plt.subplot(1,4,3) normal_estd_probs = plot_estimated_probs(normal_samples,'Normal ') plt.subplot(1,4,4) uniform_estd_probs = plot_estimated_probs(uniform_samples,'Uniform ') plt.tight_layout()print('Original probabilities:\t\t',end='') print_probs(probs) print('Gumbel Estimated probabilities:\t',end='') print_probs(gumbel_estd_probs) print('Normal Estimated probabilities:\t',end='') print_probs(normal_estd_probs) print('Uniform Estimated probabilities:',end='') print_probs(uniform_estd_probs)

Original probabilities:??????0.11?0.05?0.12?0.21?0.12?0.26?0.14
Gumbel Estimated probabilities:?0.11?0.04?0.11?0.23?0.12?0.26?0.14
Normal Estimated probabilities:??0.08?0.02?0.11?0.26?0.11?0.29?0.12
Uniform Estimated probabilities:?0.00?0.00?0.00?0.32?0.01?0.63?0.03

??可以明顯看到Gumbel噪聲的采樣效果是最好的，正態分布其次，均勻分布最差。也就是說可以用Gumbel分布做Re-parameterization使得整個圖計算可導，同時樣本點最接近真實分布的樣本。

三、數學證明

??為什么添加Gumbel噪聲有如此效果，下面闡述問題并給出證明。

??假設有一個K

維的輸出向量，每個維度的值記為xk

,通過softmax函數可得，取到每個維度的概率為：

?

πk=exk∑Kk′=1exk′

?

??這是直接softmax得到的概率密度函數，如果換一種方式，對每個xk

添加獨立的標準Gumbel分布(尺度參數為1，位置參數為0)噪聲，并選擇值最大的維度作為輸出，得到的概率密度同樣為πk。

??下面給出Gumbel分布的概率密度函數和分布函數，并證明這件事情。

??尺度參數為1，位置參數為μ

的Gumbel分布的PDF為

?

f(z;μ)=e?(z?μ)?e?(z?μ)

?

??CDF為

?

F(z;μ)=e?e?(z?μ)

?

??假設第k

個Gumbel分布對應xk,加和得到隨機變量zk=xk+Gk,即相當于zk服從尺度參數為1，位置參數為μ=xk的Gumbel分布。要證明這樣取得的隨機變量zk與原隨機變量相同，只需證明取到zk的概率為πk。也就是zk比其他所有zk′(k′≠k)大的概率為πk

，即

?

P(zk≥zk′;?k′≠k|{xk′}Kk′=1)=πk

?

??關于zk

的條件累積概率分布函數為

?

P(zk≥zk′;?k′≠k|zk,{xk′}Kk′=1)=P(z1≤zk)P(z2≤zk)???P(zk?1≤zk)P(zk+1≤zk)???P(zK≤zk)

?

??即

?

P(zk≥zk′;?k′≠k|zk,{xk′}Kk′=1)=∏k′≠ke?e?(zk?xk′)

?

??對zk

求積分可得邊緣累積概率分布函數

?

P(zk≥zk′;?k′≠k|{xk′}Kk′=1)=∫P(zk≥zk′;?k′≠k|zk,{xk′}Kk′=1)?f(zk;xk)dzk

?

??帶入式子有

?

P(zk≥zk′;?k′≠k|{xk′}Kk′=1)=∫∏k′≠ke?e?(zk?xk′)?e?(zk?xk)?e?(zk?xk)dzk

?

??化簡有

?

P(zk≥zk′;?k′≠k|{xk′}Kk′=1)=∫∏k′≠ke?e?(zk?xk′)?e?(zk?xk)?e?(zk?xk)dzk=∫e?∑k′≠ke?(zk?xk′)?(zk?xk)?e?(zk?xk)dzk=∫e?∑Kk′=1e?(zk?xk′)?(zk?xk)dzk=∫e?(∑Kk′=1exk′)e?zk?zk+xkdzk=∫e?e?zk+ln(∑Kk′=1exk′)?zk+xkdzk=∫e?e?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))?ln(∑Kk′=1exk′)+xkdzk=e?ln(∑Kk′=1exk′)+xk∫e?e?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))dzk=exk∑Kk′=1exk′∫e?e?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))dzk=exk∑Kk′=1exk′∫e?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))?e?(zk?ln(∑Kk′=1exk′))dzk

?

??積分里面是μ=ln(∑Kk′=1exk′)

的Gumbel分布，所以整個積分為1。則有

?

P(zk≥zk′;?k′≠k|{xk′}Kk′=1)=exk∑Kk′=1exk′

?

??這和softmax的結果一致。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Gumbel-Softmax Trick和Gumbel分布 附VAE讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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