以下均為不嚴格的，帶個人理解的語言描述

1.三角函數系正交
正交：向量點積后結果為0則說明兩向量正交，比如 $a(a_1,a_2,a_3)$與 $b(b_1,b_2,b_3)$正交，
即$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$==>向量點積是對應分量相乘再累加
書本P116正交定義

==>三角函數系的正交定義：比如cosx與sinx正交寫為${\int }_{T}cosxsinxdx=0$
可以理解為cosx，sinx在不同點上相乘再累加（積分）
定理：三角函數中任意三角函數（除本身）正交

2.既然三角函數彼此正交，那么可以將三角函數看成一個向量空間
書本P116正交函數集定義

則f（x）周期（2$\pi$）（滿足狄利克雷條件下）可以拆分成
$f（x）=a_0+a_{1}cosx+b_{1}sinx+a_{2}cos2x+b_{2}sin2x+...a_{n}cosnx+b_{n}sinnx$
(理解為$a=ai+bj+ck$)
物理意義：一個周期函數可以拆分成周期自身整數倍的三角函數線性組合。

書上P120

注：狄利克雷條件：（1 ）在一周期內，連續或只有有限個第一類間斷點；（2）在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個；（3）在一周期內，信號是絕對可積的。

3.系數推導
方法：消項
(1).求$a_0$
如求$a_0$,即將$a_0$之外的全部消掉
$a_0$是不包含三角函數的系數，而其他都包含，周期都可為2$\pi$
所以只需對整體積分
${\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{?\pi }^{\pi }(a_0+a_{1}cosx+b_{1}sinx+a_{2}cos2x+b_{2}sin2x+...a_{n}cosnx)dx$
${\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{?\pi }^{\pi }{a}_{0}dx$
$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)dx$
(有的地方寫$\frac{a_0}{2}$是一樣的)

(2).
同樣方法求an
方法：消項，三角函數正交
如求$a_{n}cosnx$,將f(x)整體乘cosnx，再積分
${\int }_{?\pi }^{\pi }cosnxf(x)dx={\int }_{?\pi }^{\pi }(a_0+a_{1}cosx+b_{1}sinx+...a_{n}cosnx)cosnxdx$
${\int }_{?\pi }^{\pi }cosnxf(x)dx={\int }_{?\pi }^{\pi }{a}_{n}co{s}^{2}nxdx$
${\int }_{?\pi }^{\pi }cosnxf(x)dx=a_n{\int }_{?\pi }^{\pi }\frac{cos2nx+1}{2}dx$
${\int }_{?\pi }^{\pi }cosnxf(x)dx=a_n\pi$
$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }cosnxf(x)dx$(推畢)

(3)
$b_n$推導方法相同

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶系数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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