文章目錄

• kalman濾波的解釋
• • 背景
  • • 信號經過線性變換后的分布
    • 信號的相乘
    • • 一維信號
      • 多維信號
    • 貝葉斯估計
  • 狀態方程
  • 先驗分布
  • 后驗分布
  • 總結

kalman濾波的解釋

背景

這里的信號都是指服從正態分布的信號

信號經過線性變換后的分布

信號經過線性變換后$y=F?x+b$，

均值：${\mu }_y=F?{\mu }_x+b$

方差：${\Sigma }_y=F?{\Sigma }_x?F^T$(這里與一維信號，經過線性變換有點區別)

${\Sigma }_x,{\Sigma }_y$都是協方差矩陣

信號的相乘

一維信號

兩個信號服從正態分布：$N({\mu }_0,{\sigma }_0^2),N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$

兩個信號乘積也服從正態分布$N({\mu }_p,{\sigma }_p)$
$$\begin{gathered} k=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_0^2+{\sigma }_1^2} \\ {\mu }_p={\mu }_0+k({\mu }_0?{\mu }_1) \\ {\sigma }_p^2={\sigma }_0^2?k?{\sigma }_0^2 \end{gathered}$$

多維信號

兩個多維隨機信號相乘

$N({\mu }_0,{\Sigma }_0)?N({\mu }_1,{\Sigma }_1)=z_p?N({\mu }_p,{\Sigma }_p)$
$$\begin{gathered} K={\Sigma }_0?({\Sigma }_0+{\Sigma }_1{)}^{?1} \\ {\mu }_p={\mu }_0+K({\mu }_1?{\mu }_0) \\ {\Sigma }_p={\Sigma }_0?K?{\Sigma }_0 \end{gathered}$$

貝葉斯估計

根據條件概率定義
$$\begin{gathered} P(x|\theta )?P(\theta )=P(\theta |x)?P(x) \\ P(x|\theta )=\frac{P(\theta |x)?P(x)}{P(\theta )} \end{gathered}$$
這里$P(x)$就是先驗概率，$P(\theta |x)$為似然概率，$P(x|\theta )$為后驗概率

狀態方程

$$\begin{gathered} x(n+1)=F?x(n)+G?u(n) \\ z(n)=H?x(n) \end{gathered}$$

在實際過程中，狀態含有未知量服從分布正態分布，方差（協方差矩陣）為$Q(n)$，測量也有未知量服從正態分布，方差為R。

先驗分布

$$\begin{gathered} x_{(}n+1)=F?x(n)+G?u(n) \\ {P}_{(}n+1)=F?P(n)?F^T+Q(n) \end{gathered}$$

其實$x(n+1),P(n+1)$并不是真實的值，而只是先驗值，重新對其進行命名
$$\begin{gathered} x_B=x(n+1) \\ {P}_B=P(n+1) \end{gathered}$$
$P_B$為先驗估計的誤差

后驗分布

將先驗估計的狀態x轉換到測量空間中，則其服從$N(H?x_B,H?P_B?H^T)$

測量服從$N(z,R)$

后驗分布為$N({\mu }_p,{\Sigma }_p)$
$$\begin{gathered} {\mu }_p=H?x_B+K(z?H?x_B) \\ {\Sigma }_p=H?P_B?H^T?K?H?P_B?H^T \\ K=H?P_B?H^T?(H?P_B?H^T+R{)}^{?1} \end{gathered}$$
上面的后驗分布為在測量空間的結果。

假設在狀態空間的后驗分布為$N(x_A,P_A)$，將該結果轉換到測量空間中為$N(H?x_A,H?P_A?H^T)$，兩者相等
$$\begin{gathered} H?x_A=H?x_B+K(z?H?x_B) \\ H?P_A?H^T=H?P_B?H^T?K?H?P_B?H^T \end{gathered}$$
令
$$K=H?K_G$$
則
$$K_G=P_B?H^T?(H?P_B?H^T+R{)}^{?1}$$
上面兩個等式可以變為
$$\begin{gathered} H?x_A=H?x_B+H?K_G(z?H?x_B)=H?(x_B+K_G(z?H?x_B)) \\ H?P_A?H^T=H?P_B?H^T?H?K_G?H?P_B?H=H(P_B?K_G?H?P_B)?H^T \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_A=x_B+K_G?(z?H?x_B) \\ {P}_A=P_B?K_G?H?P_B \end{gathered}$$

總結

把以上的計算先驗估計，后驗估計的過程結合起來，就是kalman濾波中的時間更新方程和狀態更新方程

時間更新方程
$$\begin{gathered} x_B=F?x(n)+G?u(n) \\ {P}_B=F?P(n)?F^T+Q(n) \end{gathered}$$
狀態更新方程
$$\begin{gathered} K_G=P_B?H^T?(H?P_B?H^T+R{)}^{?1} \\ {x}_A=x_B+K_G?(z?H?x_B) \\ {P}_A=P_B?K_G?H?P_B \end{gathered}$$

總結

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