一，預備知識
非線性自治微分方程組：$\{\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}=f(x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(x,y)\end{array}$
等式右邊不顯含變量t
圖像是一個速度場：$F=fi+gj$

方程組的解為：$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$
圖像是一條軌跡：

二，從方程組中消除t：
只需將方程組中的兩個方程相除：$\frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}$
此時方程組變?yōu)榱艘浑A常微分方程
圖像中，消去了自變量t，也就沒有了速度（向量的長度和方向），只剩下該點的斜率，速度場變成了斜率場。
解不再是一對參數(shù)方程，而是$y^{\prime }=y(x)$（顯函數(shù)，隱函數(shù)都有可能），不再是軌跡，而是曲線。

消除t的好處：有可能使原來無法解的方程組變得可解。

三，線性方程組例題：
線性方程組：$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=?x\end{array}$

通解：$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}cos(t)\\ ?sin(t)\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}sin(t)\\ cos(t)\end{array}\right]$
圖像：

消去t：$\frac{dy}{dx}=\frac{?x}{y}$
分離變量再積分，得通解：$x^2+y^2=c$
圖像也是圓。

四，非線性方程組例題：
鯊魚（x）-小魚（y）方程組：$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=?ax+bxy\\ y^{\prime }=cy?dxy\end{array}$，（$a,b,c,d>0$）
-ax表示沒有小魚，鯊魚會消亡（假設鯊魚只吃小魚）
bxy表示鯊魚吃了小魚
cy表示沒有鯊魚，小魚會增多（這里不是邏輯斯蒂增長方程）
-dxy表示小魚被鯊魚吃了
為了簡化方程組，假設$a,b,c,d=1$
方程組變?yōu)?#xff1a;$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=?x+xy\\ y^{\prime }=y?xy\end{array}$
第一步，找臨界點：
計算$\{\begin{array}{c}x(?1+1y)=0\\ y(1?1x)=0\end{array}$
解得：$\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\end{array}$，$\{\begin{array}{c}x=\frac{c}{d}=1\\ y=\frac{a}{b}=1\end{array}$
第二步，對每個臨界點附近，線性化方程組，并畫出軌跡：
當$\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\end{array}$時：xy是兩個無窮小的乘積，可以忽略
方程組變?yōu)?#xff1a;$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=?x\\ y^{\prime }=y\end{array}$
矩陣A：$\left[\begin{array}{cc}?1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
特征值：${\lambda }_1=?1$，${\lambda }_2=1$
依此可以判斷，圖像是鞍形（不穩(wěn)定），${\lambda }_1=?1$的特征向量朝向原點，${\lambda }_2=1$的特征向量朝向無窮遠
圖像：

當$\{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}$時：沒有無窮小了
計算雅克比矩陣：$J_0=\left[\begin{array}{cc}?1+y& x\\ ?y& 1?x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?1& 0\end{array}\right]$
即方程組：$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=?x\end{array}$
圖像：

里面和外面有很多同心圓（沒畫在圖上），這種叫中心。
現(xiàn)在，陷入了邊界線情形的困境：
邊界線情形：

中心隔開了“螺旋源區(qū)域”和“螺旋匯聚區(qū)域”
圖上的點（0,1）對應跡=0，行列式=1的方程組，如果矩陣的系數(shù)（方程組的系數(shù)）有微小的變化，點（跡，行列式）就不會在中心線上，原來的同心圓圖像，就會變成螺旋源圖像或螺旋匯聚圖像。如圖：

因為中心是非線性方程組的近似（實際的系數(shù)肯定有微小的變化），所以無法判斷這個臨界點是螺旋匯聚還是螺旋源，或者仍是中心。
這個問題叫沃爾泰拉問題。
解決辦法，消去t：$\frac{dy}{dx}=\frac{y(1?x)}{x(?1+y)}$
分離變量再積分，（過程見視頻），得通解：$x{e}^{?x}?y?e^{?y}=c$
通解是方程$x{e}^{?x}?y?e^{?y}=h(x,y)$的一條等值線
$u{e}^{?u}$的函數(shù)圖像：

當$u\to 0$時，$u{e}^{?u}\to u$
當$u\to \infty$時，$u{e}^{?u}\to 0$
對$u{e}^{?u}$求導，當u=1時，導數(shù)=0，得最大值$e^{?1}$
因此，$x{e}^{?x}?y?e^{?y}=h(x,y)$這個方程的最大值在點（x=1,y=1）處，當x=0或y=0時$h(x,y)=0$，在最大值和0值之間環(huán)繞著等值線，如圖：

通常每一條水平線和一條等值線只有兩個交點，但在最大值時只有一個交點，因此等值線不可能是螺旋。
因為沒有小魚，鯊魚會消亡；沒有鯊魚，小魚會增多；小魚增多，鯊魚開始增多……因此可以判斷等值線的方向是順時針。

以恒定速率k捕魚的影響：
方程組變?yōu)?#xff1a;$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=?ax+bxy?kx\\ y^{\prime }=cy?dxy?ky\end{array}$

整理：$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=?(a+k)x+bxy\\ y^{\prime }=(c?k)y?dxy\end{array}$
原來的臨界點是$\{\begin{array}{c}x=\frac{c}{d}=1\\ y=\frac{a}{b}=1\end{array}$，現(xiàn)在變?yōu)?#xff1a;$\{\begin{array}{c}x=\frac{c?k}{d}\\ y=\frac{a+k}{b}\end{array}$

捕魚的結果：降低了鯊魚的數(shù)量，增加了小魚的數(shù)量。
這個現(xiàn)象叫沃爾泰拉法則。

完結撒花！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第三十三讲 非线性方程组化为一阶方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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