例題

$\{\begin{array}{c}{u_1}^{\prime }=?u_1+2u_2\\ {u_1}^{\prime }=u_1?2u_2\end{array}$

一，將微分方程組化為矩陣形式

$\left[\begin{array}{c}{u_1}^{\prime }\\ {u_2}^{\prime }\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}?1& 2\\ 1& ?2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$

方程組解的形式：$\left[\begin{array}{c}u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\end{array}\right]e^{\lambda t}$，c是任意常數，x是特征向量，λ是特征值，t是時間變量
證明：$\left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\end{array}\right]={(\left[\begin{array}{c}x\end{array}\right]e^{\lambda t})}^{\prime }=\lambda \left[\begin{array}{c}x\end{array}\right]e^{\lambda t}=A\left[\begin{array}{c}x\end{array}\right]e^{\lambda t}=A\left[\begin{array}{c}u\end{array}\right]$

二，求出A的$\lambda$和$x$

根據二階矩陣特征值公式（第二十一講），得：${\lambda }^2+3\lambda =0$。解得：${\lambda }_1=0，{\lambda }_2=?3$

將${\lambda }_1=0$代入$\left[\begin{array}{cc}?1?\lambda & 2\\ 1& ?2?\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=0$，得：$\left[\begin{array}{cc}?1& 2\\ 1& ?2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=0$

設自由變量$x_1=1$，則$x_2=\frac{1}{2}$，特征向量$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]$，$c_1$為任意常數

將${\lambda }_1=?3$代入$\left[\begin{array}{cc}?1?\lambda & 2\\ 1& ?2?\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=0$，得：$\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=0$

設自由變量$x_1=1$，則$x_2=?1$，特征向量$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]$，$c_2$為任意常數

三，方程組的通解

$A=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]e^{0t}+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]e^{?3t}=S{e}^{\Lambda t}{\Lambda }_c$
$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]e^{0t}$是穩態解，$c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]e^{?3t}$是暫態解，隨著t→∞，$e^{?3t}$→0

四，方程組的特解

假設初始條件：當t=0時，$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$
代入初始條件：
$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]$
整理：
$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ \frac{1}{2}& ?1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$
解得：
$\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]$
將其代入通解：
$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]+\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]e^{?3t}$
含義：$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$從$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$開始，隨著t→∞，終將穩定在$\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]$的狀態

五，特征值決定穩態和暫態

當λ<0時，隨t→∞，$e^{\lambda t}$→0，$\left[\begin{array}{c}x\end{array}\right]e^{\lambda t}$為暫態解

當λ=0時，隨t→∞，$e^{\lambda t}$=1，$\left[\begin{array}{c}x\end{array}\right]e^{\lambda t}$為穩態解

當λ>0時，隨t→∞，$e^{\lambda t}$→∞，$\left[\begin{array}{c}x\end{array}\right]e^{\lambda t}$為發散解

當λ是復數，如λ=-3+6i，$e^{(?3+6i)t}=e^{?3t}+e^{6it}$，$|e^{6it}|=|cos(6t)+isin(6t)|=1$（因為是復平面上的單位圓，所以模=1），這個虛部的值在單位圓上轉圈，因此只有實部$e^{?3t}$起決定作用，λ=-3<0，$e^{(?3+6i)t}$為暫態解

當λ都<0時，根據λ的性質，λ的和=A的跡<0，但反過來，λ的和=A的跡<0得到λ不一定都<0，同樣適用于λ是復數的情況

當λ都<0時，根據λ的性質，λ的積=det(A)>0，同樣適用于λ是復數的情況

六，利用對角化解耦

設方程組：$u^{\prime }=Au$，A為耦合狀態
令$u=Sv$，S是A是特征向量矩陣
代入方程組，得：$S{v}^{\prime }=ASv$
左乘$S^{?1}$，得：$v^{\prime }=S^{?1}ASv=\Lambda v$
如果是二階矩陣：$\left[\begin{array}{c}{u_1}^{\prime }\\ {u_2}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]$
此時方程組不再耦合
通解：$v=e^{\Lambda t}{v}_0$
可轉化為：$u=Sv=S{e}^{\Lambda t}{v}_0=S{e}^{\Lambda t}{S}^{?1}S{v}_0=e^{At}S{v}_0=e^{At}{u}_0$

七，矩陣指數$e^{At}$

泰勒級數展開：$e^{At}=I_2+At+\frac{A^2}{2!}{t}^2+\frac{A^3}{3!}{t}^3+...+\frac{A^n}{n!}{t}^n$
具體可以看微分方程第二十九講

矩陣指數公式：$e^{At}=S{e}^{\Lambda t}{S}^{?1}$，前提是A可對角化
如果是二階矩陣：$e^{\Lambda t}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{2}t}\end{array}\right]$，完全沒有耦合
收斂的條件是：$\lambda <0$，（對比第二十二講矩陣的冪公式的收斂條件）

八，將二階微分方程轉化為一階微分方程組

設有二階微分方程：$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+ky=0$
建立微分方程組：$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }=?b{y}^{\prime }?ky\\ y^{\prime }=y^{\prime }\end{array}$
化為矩陣：$\left[\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}?b& ?k\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ y\end{array}\right]$
令$u=\left[\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ y\end{array}\right]$，則$u^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{y^{\prime }}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$
$u^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}?b& ?k\\ 1& 0\end{array}\right]u$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第二十三讲 解一阶微分方程组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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