第二十八讲 解非齐次线性方程组
一，關于二階方程組x?′=Ax?{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax的理論（對n階方程也成立）：
（假設A是常數矩陣）
二，解非齊次線性方程組：
一般形式：{x′=ax+by+r1(t)y′=cx+dy+r2(t)\left\{\begin{matrix}{x}'=ax+by+{\color{Red} r_{1}(t)}\\ {y}'=cx+dy+{\color{Red} r_{2}(t)}\end{matrix}\right.{x′=ax+by+r1?(t)y′=cx+dy+r2?(t)?
簡化形式：x?′=Ax?+r?(t){\vec{x}}'=A\vec{x}+\vec{r}(t)x′=Ax+r(t)
定理C：微分方程組的通解xg?=xc?+xp?\vec{x_{g}}=\vec{x_{c}}+\vec{x_{p}}xg??=xc??+xp??，其中xc?\vec{x_{c}}xc??是x?′=Ax?{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax的通解，xp?\vec{x_{p}}xp??是微分方程組的一個特解。可以用線性疊加原理證明。
找到特解xp?\vec{x_{p}}xp??是求解的關鍵。
三，例題：
圖中，箭頭表示流向，數字表示流速，單位是L/h，x表示左邊容器中鹽的含量，y表示右邊容器中鹽的含量，兩個容器的容量都是1L。
假設輸入項為：外部流入左邊容器的液體濃度是5e?t5e^{-t}5e?t，外部流入右邊容器的液體濃度是0。輸入項不全為0，決定了方程組是非齊次方程組。
建立微分方程組：
x′=?3x+2y+5e?t{x}'=-3x+2y+5e^{-t}x′=?3x+2y+5e?t
含義：左邊容器x的變化率=-流出速度X左容器中鹽的濃度+內部流入速度X右容器中鹽的濃度+從外部流入速度X外部液體的濃度。
y′=3x?4y+0{y}'=3x-4y+0y′=3x?4y+0
含義：右邊容器y的變化率=內部流入速度X左容器中鹽的濃度+流出速度X右容器中鹽的濃度+從外部流入速度X外部液體的濃度。
{x′=?3x+2y+5e?ty′=3x?4y+0\left\{\begin{matrix}{x}'=-3x+2y+5e^{-t}\\ {y}'=3x-4y+0\end{matrix}\right.{x′=?3x+2y+5e?ty′=3x?4y+0?
矩陣化：
[x′y′]=[?323?4][xy]+[5e?t0]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 & 2\\ 3 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5e^{-t}\\ 0\end{bmatrix}[x′y′?]=[?33?2?4?][xy?]+[5e?t0?]
參數變分法求特解xp?\vec{x_{p}}xp??：
xp?=v1(t)x1?+v2(t)x2?\vec{x_{p}}=v_{1}(t)\vec{x_{1}}+v_{2}(t)\vec{x_{2}}xp??=v1?(t)x1??+v2?(t)x2??
和定理A類似，只不過把常數c改成了參數v
化為基本矩陣：xp?=[x1?x2?][v1(t)v2(t)]=Xv?\vec{x_{p}}=\begin{bmatrix} \vec{x_{1}}& \vec{x_{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)\end{bmatrix}=X\vec{v}xp??=[x1???x2???][v1?(t)v2?(t)?]=Xv
將特解xp?\vec{x_{p}}xp??代入方程組x?′=Ax?+r?(t){\vec{x}}'=A\vec{x}+\vec{r}(t)x′=Ax+r(t)，求出v?\vec{v}v：
代入得：xp?′=Axp?+r?(t){\vec{x_{p}}}'=A\vec{x_{p}}+\vec{r}(t)xp??′=Axp??+r(t)
等式左邊：xp?′=(Xv?)′=X′v?+Xv?′{\vec{x_{p}}}'={(X\vec{v})}'={X}'\vec{v}+X{\vec{v}}'xp??′=(Xv)′=X′v+Xv′，（乘積的求導公式）
等式右邊：Ax?+r?(t)=AXv?+r?(t)A\vec{x}+\vec{r}(t)=AX\vec{v}+\vec{r}(t)Ax+r(t)=AXv+r(t)
因為X是方程組的基本矩陣，所以根據X的性質2：AX=X′AX={X}'AX=X′
等式右邊：Ax?+r?(t)=AXv?+r?(t)=X′v?+r?(t)A\vec{x}+\vec{r}(t)=AX\vec{v}+\vec{r}(t)={X}'\vec{v}+\vec{r}(t)Ax+r(t)=AXv+r(t)=X′v+r(t)
左邊=右邊：X′v?+Xv?′=X′v?+r?(t)?Xv?′=r?(t){X}'\vec{v}+X{\vec{v}}'={X}'\vec{v}+\vec{r}(t)\Rightarrow X{\vec{v}}'=\vec{r}(t)X′v+Xv′=X′v+r(t)?Xv′=r(t)
v?′=X?1r?(t){\vec{v}}'=X^{-1}\vec{r}(t)v′=X?1r(t)，根據X的性質1，X存在逆矩陣
v?=∫X?1r?(t)dt\vec{v}=\int X^{-1}\vec{r}(t)dtv=∫X?1r(t)dt，X?1r?(t)X^{-1}\vec{r}(t)X?1r(t)是一個列向量，元素都是t的函數，只要逐個積分就算出來了。
結果：xp?=Xv?=X∫X?1r?(t)dt\vec{x_{p}}=X\vec{v}=X\int X^{-1}\vec{r}(t)dtxp??=Xv=X∫X?1r(t)dt，只要找到一個特解就行，因此不用在公式后加積分常數。
求x?′=Ax?{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax的通解xc?\vec{x_{c}}xc??的部分省略了
總結
以上是生活随笔為你收集整理的第二十八讲 解非齐次线性方程组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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